a,

Xét t/g ABC và HBA -> ∠A=∠H (vuông) ; chung góc B

-> đồng dạng (g-g)

T/g ABC đồng dạng HAC thì thay chung góc B -> chung góc C

b,

Xét t/g ABC -> AB²+AC²=BC² ( Định lý Pythagore)

-> 9²+12²=BC²

-> 81+144=BC²

-> 225=BC²

-> 15²=BC² 

-> 15=BC

Từ t/g ABC đồng dạng HBA -> AB/BH = BC/AB

-> 9/BH = 15 / 9

-> 81 = 15BH

-> BH = 81/15

-> BH = 27/5 = 5,4

c,

T/g ABC đồng dạng t/g HBA -> ∠BAH=∠C (1)

T/g ABC đồng dạng HCA -> ∠HAC=∠B (2)

Xét t/g ABH và ACH -> (1) và (2)

-> đồng dạng (g-g)

-> AH/BH = CH/AH

-> BH.CH = AH.AH = AH²

d,

Cho BM cắt AN tại I

Vì ∠HAC=∠B (cmtr) -> các góc phân giác của 2 góc cũng bằng nhau

-> ∠HAN=∠CBI

-> ∠MAI=∠MBH (góc trùng nhau)

Xét t/g MAI và MBH -> ∠MAI=∠MBH (cmtr) ; ∠BMH=∠AMI (đối đỉnh)

-> cặp  góc còn lại bằng nhau

-> ∠H=∠AIM mà ∠H vuông

-> ∠AIM vuông

-> AN vuông với BM