Đáp án + Giải thích các bước giải:

Mặt cầu tâm $I(a; b; c)$ tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng toạ độ

$\Rightarrow d(I, (Oxy)) = d(I, (Oxz)) = d(I, (Oyz)) = R$

$\Rightarrow |a| = |b| = |c| = R$

Nhận xét: Vì mặt cầu chỉ tiếp xúc với tất cả các mặt phẳng toạ độ

$\Rightarrow$ Mặt cầu chỉ đi qua các điểm có toạ độ cùng dấu với tâm $I$

Mà mặt cầu đi qua $A(1; -1; 4)$

$\Rightarrow \begin {cases} a > 0 \\ b < 0 \\ c > 0 \end {cases}$

Kết hợp với $|a| = |b| = |c| = R$, ta được $I(a; -a; a)$

$\Rightarrow$ Phương trình mặt cầu trên có dạng $(x - a)^2 + (y + a)^2 + (z - a)^2 = a^2$

Gọi mặt cầu trên là $(S)$

Ta có: $A(1; -1; 4) \in (S)$

$\Rightarrow (1 - a)^2 + (-1 + a)^2 + (4 - a)^2 = a^2$

$\Leftrightarrow 3a^2 - 12a + 18 = a^2$

$\Leftrightarrow 2a^2 - 12a + 18 = 0$

$\Leftrightarrow 2(a - 3)^2 = 0$

$\Leftrightarrow a = 3$

$\Leftrightarrow I(3; -3; 3)$

$\Rightarrow P = 3 + 3 + 3 = 9$

(Ảnh $1$ là mặt cầu $(S)$ trên hệ toạ độ $Oxyz$, ảnh $2$ là bằng chứng cho thấy $(S)$ chỉ tiếp xúc với các mặt phẳng toạ độ tại $1$ điểm duy nhất)