Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi M là điểm trên cạnh AC sao cho ABD = MВС. a) Chứng minh: tam giác ABD đồng dạng tam giác MBС. b) Chứng minh: AB.CD = BD.AM. c) Chứng minh: AD.BC + AB.CD = BD.AC.

Đáp án+Giải thích các bước giải:

a) Xét `\Delta ABD` và `\Delta MBC` ta có:

`\hat{ABD} = \hat{MBC}` (gt)

`\hat{ADB} = \hat{MCB}` (gnt cùng chắn cung $\mathop{AB}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`=> \Delta ABD` $\backsim$ `\Delta MBC` `(g - g)`

b)

Ta có:

`\hat{ABM} + \hat{MBD} = \hat{ABD}`

Ta lại có:

`\hat{DBC} + \hat{MBD} = \hat{MBC}`

Mà `\hat{ABD} = \hat{MBC}` (gt)

`-> \hat{ABM} = \hat{DBC}`

Xét `\Delta ABM` và `\Delta DBC` ta có:
`\hat{BAM} = \hat{BDC}` (gnt cùng chắn cung $\mathop{BC}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`\hat{ABM} = \hat{DBC}` (cmt)

`=> \Delta ABM` $\backsim$ `\Delta DBC` `(g - g)`

`=> (AB)/(BD) = (AM)/(CD)` (cặp cạnh tỉ lệ)

`=> AB . CD = BD . AM`

`-> đpcm`

c)

Vì ` \Delta ABM` $\backsim$ `\Delta DBC` (cmt)

`=> (AB)/(BD) = (AM)/(CD)`

`=> AB . CD = BD . AM` `(1)`

Vì `\Delta ABD` $\backsim$ `\Delta MBC` (cmt)

`=> (AD)/(MC) = (BD)/(BC)`

`=> AD . BC = BD . MC` `(2)`

Cộng `(1)` và `(2)` vế với vế ta có:

`AD . BC + AB . CD = BD . MC + BD . AM`

`-> AD . BC + AB . CD = BD(MC + AM)`

`-> AD . BC + AB . CD = BD . AC`

`-> đpcm`