Trong không gian Oxyz, tọa độ các khu vực được xác định như sau: Khu vực A(20;30;0) nằm trên thặt đất; khu vực B(70;40;50) nằm trên tòa nhà cao tầng; khu vực C (50; 70;80) nằm trên một đỉnh đồi. Để đảm bảo hiệu quả thu phát sóng, các kĩ sư cần tính toán vị trí lắp đặt trạm phát sóng ở D(a;b;c) sao cho khoảng cách từ D đến ba khu vực kể trên là bằng nhau và có giá trị nhỏ nhất. Tính T = a+ b+ c (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Đáp án: $121$ 

Giải thích các bước giải:

Để $DA=DB=DC$ nhỏ nhất

$\to D$ là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta ABC$

Ta có:

$\vec{AB}=(50, 10, 50)$

$\vec{AC}=(30, 40, 80)$

$\to [\vec{AB},\vec{AC}]=(10\cdot 80-50\cdot 40, 30\cdot 50-50\cdot 80, 50\cdot 40-10\cdot 30)=(-1200, -2500, 1700)//(-12, -25,17)$

$\to (ABC): -12(x-20)-25(y-30)+17z=0$

$\to (ABC): -12x-25y+17z+990=0$

Ta có:

$\begin{cases}DA=DB=DC\\ D\in ABC\end{cases}$

$\to \begin{cases}DA=DB\\ DA=DC\\ D\in ABC\end{cases}$

$\to \begin{cases}DA^2=DB^2\\ DA^2=DC^2\\ D\in ABC\end{cases}$

$\to \begin{cases}(a-20)^2+(b-30)^2+c^2=(a-70)^2+(b-40)^2+(c-50)^2\\ (a-20)^2+(b-30)^2+c^2=(a-50)^2+(b-70)^2+(c-80)^2\\ -12a-25b+17c+990=0\end{cases}$

$\to \begin{pmatrix}a=\dfrac{157860}{6348},\:&b=\dfrac{29390}{529},\:&c=\dfrac{21700}{529}\end{pmatrix}$

$\to a+b+c=\dfrac{157860}{6348}+\dfrac{29390}{529}+\dfrac{21700}{529}=\dfrac{64245}{529}\approx 121$