`a)` Xét tứ giác `BFEC`, ta có:

`\hat{BFC}=\hat{BEC}=90^o` cùng chắn cung `BC`

`=>` Tứ giác `BFEC` nội tiếp `=>\hat{AFE}=\hat{ACB}` (góc ngoài bằng góc đối trong)

Xét `\Delta AEF` và `\Delta ABC`, ta có:

`\hat{BAC}` chung

`\hat{AFE}=\hat{ACB}` (chứng minh trên)

Vậy  `\Delta AEF` đồng dạng với `\Delta ABC`

`b)` Xét tứ giác `AFHE`, ta có: `\hat{AEH} + \hat{AFH}=90^o + 90^o=180^o`

`=>` tứ giác `AFHE` nội tiếp `=>\hat{AFE}=\hat{AHE}`

Mà `\hat{AFE}=\hat{ACB}`

Nên `\hat{ACB}=\hat{AHE}`

Lại có: `\hat{AHE}=\hat{BHD}`

`=>\hat{ACB}=\hat{BHD}`

`VT=tan ABC* tan C=tan ABD* tan ACB=tan ABD* tan BHD=(AD)/(BD)*(BD)/(HD)=(AD)/(HD)=VP` `(đpcm)`

`c)` Ta có: `\Delta ABC` đồng dạng với `\Delta AEF` (chứng minh câu a)

`=>(AE)/(AB)=(EF)/(BC)` (các cạnh tương ứng tỉ lệ)

Mà `(AE)/(AB)=cos BAE=cos A`

`=>cos A=(EF)/(BC)` `(3)`

Chứng minh tương tự các `\Delta BFD` và `\Delta ACB`; `\Delta EDC` và `\Delta BAC` đồng dạng với nhau (theo trường hợp góc - góc) thông qua các tứ giác `BFEC` và `AEDB` nội tiếp (có hai góc vuông cùng chắn một cung)

Ta sẽ được `(FD)/(CA)=(BF)/(BC)=cos FBC=cos B=>cos B= (FD)/(AC)` `(2)`

Và `(ED)/(BA)=(EC)/(BC)=cos ECB=cos C=>cos C=(ED)/(BA)` `(3)`

Từ `(1), (2)` và `(3)` lấy `cos A. cos B. cos C` ta được điều phải chứng minh