Ta có: `x^2 + 2xy + 7(x + y) + 2y^2 + 10 = 0`

`<=> (x^2 + 2xy + y^2) + 7(x + y) + y^2 + 10 = 0`

`<=> (x + y)^2 + 7(x + y) + y^2 + 10 = 0`

Đặt `S = x + y`. Khi đó phương trình trở thành:

`S^2 + 7S + y^2 + 10 = 0`

`<=> y^2 = -S^2 - 7S - 10`

Vì `y^2 >= 0 AA y`

Nên `-S^2 - 7S - 10 >= 0`

`<=> S^2 + 7S + 10 <= 0`

`<=> S^2 + 2S + 5S + 10 <= 0`

`<=> S(S + 2) + 5(S + 2) <= 0`

`<=> (S + 2)(S + 5) <= 0`

Điều này xảy ra khi và chỉ khi hai thừa số trái dấu hoặc một trong hai thừa số bằng `0`

Trường hợp 1:

`S + 2 >= 0` và `S + 5 <= 0`

`<=> S >= -2` và `S <= -5` (vô lý)

Trường hợp 2:

`S + 2 <= 0` và `S + 5 >= 0`

`<=> S <= -2` và `S >= -5`

`<=> -5 <= S <= -2` hay `-5 <= x + y <= -2`

Ta lại có: `A = x + y + 3`

Vì `x + y >= -5` nên `A = x + y + 3 >= -5 + 3 = -2`

Dấu "`=`" xảy ra khi `x + y = -5`

`y^2 = -(-5)^2 - 7*(-5) - 10 = -25 + 35 - 10 = 0 => y = 0`

`x + 0 = -5 => x = -5`

Vậy `A_{"min"} = -2` khi `x = -5` và `y = 0`