Giúp mình câu đơn điệu tham m vớii ạaaaa.

thay dấu trừ trước ngoặc là cộng giúp mình ạ

#Chi tiết

Đáp án + Giải thích các bước giải:

$y = \dfrac{1}{3}x^3 + (m - 2)x^2 + (2m + 3)x$

$\Leftrightarrow y' = x^2 + 2(m - 2)x + 2m +3$

$y$ nghịch biến trên $(0; 3) \Rightarrow y' = x^2 + 2(m - 2)x + 2m + 3 < 0$ với mọi $x \in (0; 3)$

$\Leftrightarrow x^2 + 2mx - 4x + 2m + 3 < 0$ với mọi $x \in (0; 3)$

$\Leftrightarrow 2m(x + 1) < -x^2 + 4x - 3$ với mọi $x \in (0; 3)$

$\Leftrightarrow m < \dfrac{-x^2 + 4x - 3}{2x + 2}$ với mọi $x \in (0; 3)$

$\Leftrightarrow m < \min \limits_{x \in (0; 3)} \dfrac{-x^2 + 4x - 3}{2x + 2}$

Xét $f(x) = \dfrac{-x^2 + 4x - 3}{2x + 2}$

$\Rightarrow f(x) = -\dfrac{1}{2}\bigg(\dfrac{x^2 - 4x + 3}{x + 1}\bigg)$

$= -\dfrac{1}{2}\bigg(x - 5 + \dfrac{8}{x + 1}\bigg)$

$\Rightarrow f'(x) = -\dfrac{1}{2}\bigg(1 - \dfrac{8}{(x + 1)^2}\bigg)$

$= -\dfrac{1}{2} + \dfrac{4}{(x + 1)^2}$

$f'(x) =0 \Leftrightarrow \dfrac{4}{(x + 1)^2} = \dfrac{1}{2}$

$\Leftrightarrow (x + 1)^2 = 8$

$\Leftrightarrow$ \(\left[ \begin{array}{l}x=2\sqrt{2} - 1\\x=-2\sqrt{2} - 1\end{array} \right.\) 

Xét $x \in (0; 3)$, ta thấy $f(0) = \dfrac{-3}{2}, f(2\sqrt{2} - 1) = 3 - 2\sqrt{2}, f(3) = 0$

$\Rightarrow m \le f(0) < \min \limits_{x \in (0; 3)} \dfrac{-x^2 + 4x - 3}{2x + 2}$

$\Leftrightarrow m \le \dfrac{-3}{2}$

Vậy $m \le \dfrac{-3}{2}$