Đặt: `A=(a\sqrt{2026}+b)/(b\sqrt{2026}+c)`

`A=((a\sqrt{2026}+b)(b\sqrt{2026}-c))/((b\sqrt{2026}+c)(b\sqrt{2026}-c))`

`=(2026ab-ac\sqrt{2026}+b^2\sqrt{2026}-bc)/((b\sqrt{2026})^2-c^2)`

`=(2026ab+(b^2-ac)\sqrt{2026}-bc)/(2026b^2-c^2)`

Vì `A` là số hữu tỉ do đó: `2026ab+(b^2-ac)\sqrt{2026}-bc\inZ` và `2026b^2-c^2\inZ`

Mà: `2026b^2-c^2` là số nguyên với mọi `b,c\inZ` 

`=>2026ab+(b^2-ac)\sqrt{2026}-bc` là số nguyên 

Mà: `2026ab-bc` là số nguyên suy ra `(b^2-ac)\sqrt{2026}` phải là số nguyên 

Để `(b^2-ac)\sqrt{2026}` có giá trị nguyên thì `b^2-ac=0`

`=>b^2=ac`

Ta cần chứng minh `(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)` là số nguyên 

hay cần chứng minh: `(a^2+b^2+c^2)\vdots(a+b+c)`

`[(a+b+c)^2-2(ab+bc+ca)]\vdots(a+b+c)`

Vì: `(a+b+c)^2\vdots(a+b+c)=>2(ab+bc+ca)\vdots(a+b+c)`

`=>(ab+bc+ca)\vdots(a+b+c)`

`=>(ab+bc+b^2)\vdots(a+b+c)` (vì `ac=b^2)`

`=>b(a+b+c)\vdots (a+b+c)` (luôn đúng)

`->a^2+b^2+c^2` chia hết cho `a+b+c`

Hay: `(a^2+b^2+c^2)/(a+b+c)` là số nguyên

`->` ĐPCM