Ta có: `1/a+1=(a+b+c)/a+1=(2a+b+c)/a`

`=((a+b)+(a+c))/a=(a+b)/a+(a+c)/a`

Áp dụng BĐT Cauchy ta được:

`(a+b)/a+(a+c)/a>=2\sqrt{((a+b)(a+c))/a^2}=(2\sqrt{(a+b)(b+c)})/a`

Tương tự ta chứng mình được:

`1/b+1>=(2\sqrt{(b+c)(b+a)})/b`

`1/c+1>=(2\sqrt{(c+a)(c+b)})/c` 

`=>(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)>=(8\sqrt{(a+b)^2(b+c)^2(c+a)^2})/(abc)`

`=(8(a+b)(b+c)(c+a))/(abc)`

Lại có:

`a+b>=2\sqrt{ab},b+c>=2\sqrt{bc},c+a>=2\sqrt{ca}` (theo BĐT Cauchy) 

`=>(a+b)(b+c)(c+a)>=8\sqrt{a^2b^2c^2}=8abc`

Suy ra: `(1/a+1)(1/b+1)(1/c+1)>=(8*8abc)/(abc)=64` (đpcm)