1) 

Xét hai tam giác vuông $BEC$ và $CFB$, có:

 $\widehat{BEC} = \widehat{CFB} = 90^\circ$ (vì $BE, CF$ là đường cao)

 $BC$ là cạnh chung

 $\widehat{EBC} = \widehat{FCB}$ (vì $\triangle ABC$ cân tại $A$)

$\Rightarrow \triangle BEC = \triangle CFB$ (cạnh huyền - góc nhọn).

2) 

 Vì $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $AB = AC$.

 Theo câu 1, $\triangle BEC = \triangle CFB \Rightarrow CE = BF$ (hai cạnh tương ứng).

Ta có: $AE = AC - CE$ và $AF = AB - BF$.

 Do $AC = AB$ và $CE = BF$ nên suy ra $AE = AF$.

Xét hai tam giác vuông $AHE$ và $AHF$, có:

 $\widehat{AEH} = \widehat{AFH} = 90^\circ$

 Cạnh $AH$ là cạnh chung

 $AE = AF$ (cmt)

$\Rightarrow \triangle AHE = \triangle AFH$ (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

3) 

 Xét $\triangle ABC$ cân tại $A$, có $AI$ là đường trung tuyến 

    $\Rightarrow AI$ cũng là đường phân giác của $\widehat{BAC}$ (tính chất tam giác cân). (1)

 Theo câu 2, $\triangle AHE = \triangle AFH$.

    $\Rightarrow \widehat{HAE} = \widehat{HAF}$ (hai góc tương ứng).

    $\Rightarrow AH$ là đường phân giác của $\widehat{EAF}$ hay $AH$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$. (2)

 Từ (1) và (2),  thấy  cả $AI$ và $AH$ đều là tia phân giác của $\widehat{BAC}$.

    $\Rightarrow$ Tia $AI$ và tia $AH$ trùng nhau.

Vậy, ba điểm $A, H, I$ thẳng hàng.