Câu 1

Gọi `M` là trung điểm `BC`

Ta có: `{(OM bot BC),(SO bot BC):}=>BC bot (SOM)`

`=>` `BC bot SM`

Ta có: `{((SBC) nn (ABCD)=BC),((ABCD): OM bot BC),((SBC): SM bot BC):}`

`=>` `((SBC),(ABCD))=(OM,SM)=hat(SMO)=60^o`

Ta có: `SA=SB=SC=SD=2a`

`=>` `SM=sqrt((SB^2+SC^2)/2-(BC^2)/4)=(asqrt15)/2`

`=>` `{(SO=SMsin hat(SMO)=(3asqrt5)/4),(OM=SMcos hat(SMO)=(asqrt15)/4):}`

Ta có: `BC //// (SAD)=>d(BC,(SAD))=d(B,(SAD))`

Mà `(d(B,(SAD))/(d(O,(SAD)))=(BD)/(OD)=2`

`=>` `d(B,(SAD))=2d(O,(SAD))`

Gọi `N` là trung điểm `AD`

Ta có: `{(ON bot AD),(SO bot AD):}=>AD bot (SON)`

Trong `(SON)`: Dựng `OH bot SN` tại `H` `=>` `AD bot OH`

Ta có: `{(OH bot SN),(OH bot AD):}=>OH bot (SAD)`

`=>` `d(O,(SAD))=OH=(SO*ON)/(sqrt(SO^2+ON^2))=((3asqrt5)/4*(asqrt15)/4)/(sqrt(((3asqrt5)/4)^2+((asqrt15)/4)^2))=(3sqrt5)/8a`

`=>` `d(BC,(SAD))=2d(O,(SAD))=(3sqrt5)/4a`

`=>` `m ~~ 1,68`

Câu 2

Gọi `E` là trung điểm `BC`; `BC=20  cm`

Khi quay hình chữ nhật `MNPQ` xung quanh trục đối xứng của tam giác `ABC` vuông cân tại `A` (Đường thẳng `AE`) ta sẽ thu được một hình trụ có chiều cao là `PN` và bán kính là `(MN)/2`

`=>` `V=piR^2h=pi/4*MN^2*PN`

Đặt `BM=x  (0 < x < 10)=>MN=BC-BM-NC=20-2x  cm`

Theo Thales, ta có: `(PN)/(AE)=(CN)/(CE)=(x)/(10)` `=>` `PN=AE*x/10`

Theo tính chất tam giác vuông: `AE=1/2BC=10  cm`

`=>` `PN=x  cm`

`=>` `V=pi/4*(20-2x)^2*x=pi/4*(400x-80x^2+4x^3)`

Xét `f(x)=400x-80x^2+4x^3` với `x in (0;10)`

`=>` `f^'(x)=400-160x+12x^2=0=>[(x=10/3  (tm)),(x=10  (l)):}`

Vẽ bảng biến thiên, ta thấy `V` đạt GTLN khi `x=10/3`

Vậy để thể tích khối tròn xoay lớn nhất thì `PQ` có độ dài xấp xỉ `13,3` cm