Giải thích các bước giải:

a.Vì $DM\perp AB, DN\perp AC, AB\perp AC$

$\to AMDN$ là hình chữ nhật

Mà $AD$ là phân giác $\hat A$

$\to AMDN$ là hình vuông

$\to AM=MD=DN=DA$

       $DM//AC, DN//AB$

$\to \dfrac{BM}{BA}=\dfrac{BD}{BC}$

$\to \dfrac{ME}{NA}=\dfrac{AN}{AC}$

$\to \dfrac{ME}{MD}=\dfrac{MF}{MC}$

$\to EF//BC$

2.Ta có: $DN//AB, DM//AC$

$\to \dfrac{DN}{AB}=\dfrac{CN}{CA}, \dfrac{NF}{AM}=\dfrac{CN}{CA}$

$\to \dfrac{DN}{AB}=\dfrac{NF}{AM}$

$\to \dfrac{AN}{AB}=\dfrac{NF}{NA}$

Mà $\widehat{BAN}=\widehat{ANF}(=90^o)$

$\to \Delta ANB\sim\Delta NFA(c.g.c)$

3.Ta có:

$S_{MQPN}=S_{AMN}-S_{APQ}$

$\to S_{MQPN}=\dfrac12AM^2-\dfrac12AQ.AP$

$\to S_{MQPN}=\dfrac12AM^2-\dfrac12AQ.MQ$

$\to S_{MQPN}\ge \dfrac12AM^2-\dfrac12\cdot \dfrac14(AQ+MQ)^2$

$\to S_{MQPN}\ge \dfrac12AM^2-\dfrac12\cdot \dfrac14AM^2$

$\to S_{MQPN}\ge \dfrac38AM^2$

Dấu = xảy ra khi $AQ=QM\to Q$ là trung điểm $AM$

$\to P$ là trung điểm $AN$