CÂU 3 NEK:

Rút gọn biểu thức $M$:

$M = \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} + 6} + \frac{1}{\sqrt{x} - 6} + \frac{17\sqrt{x} + 30}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$M = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 6) + 1(\sqrt{x} + 6) + 17\sqrt{x} + 30}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$M = \frac{x - 6\sqrt{x} + \sqrt{x} + 6 + 17\sqrt{x} + 30}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$M = \frac{x + 12\sqrt{x} + 36}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$M = \frac{(\sqrt{x} + 6)^2}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$

$M = \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 6}$ (Với $x \ge 0$, $x \ne 36$)

Tính biểu thức $L = N . M$:

$L = \frac{24}{\sqrt{x} + 6} . \frac{\sqrt{x} + 6}{\sqrt{x} - 6}$

$L = \frac{24}{\sqrt{x} - 6}$

Tìm số nguyên $x$ để $L$ có giá trị nguyên lớn nhất:

Để $L$ là số nguyên, $(\sqrt{x} - 6)$ phải là một ước của 24.

Các ước của 24 là: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 8, \pm 12, \pm 24$.

Vì $x \ge 0$, nên $\sqrt{x} \ge 0$.

Suy ra $\sqrt{x} - 6 \ge -6$.

Để $L = \frac{24}{\sqrt{x} - 6}$ đạt giá trị nguyên lớn nhất, thì $\sqrt{x} - 6$ phải là ước dương nhỏ nhất của 24.

Ta xét các trường hợp: 

$\sqrt{x} - 6 = 1 \implies \sqrt{x} = 7 \implies x = 49$ (thỏa mãn điều kiện). Khi đó $L = \frac{24}{1} = 24$.

$\sqrt{x} - 6 = 2 \implies \sqrt{x} = 8 \implies x = 64$ (thỏa mãn điều kiện). Khi đó $L = \frac{24}{2} = 12$.

Các trường hợp còn lại của $\sqrt{x} - 6$ (là các ước dương khác của 24 hoặc các ước âm $\ge -6$) đều cho giá trị $L$ nhỏ hơn 24.

Vậy, giá trị nguyên lớn nhất của $L$ là 24 khi $x = 49$.