Gọi chiều rộng đáy bể là `x (m)`

      chiều dài đáy bể là `4x (m)`

      chiều cao của bể là `y (m)`

Đổi: `400l = 400dm^3 = 0,4 m^3`

Ta có:

`4x.x.y = 0,4 => x^2 . y = 0,1 => y = 1/(10x^2)`

Diện tích kính cần làm:

`4x.x + 2.(4x.y + x.y)`

`= 4x^2 + 10xy`

`= 4x^2 + 10x. 1/(10x^2)`

`= 4x^2 + 1/x`

Áp dụng bất đẳng thức `AM-GM:`

`4x^2 + 1/x = 4x^2 + 1/(2x) + 1/(2x) >= 3\root{3}{4x^2 . 1/(2x) . 1/(2x)} = 3`

Do đó: Diện tích kính cần làm nhỏ nhất là `3m^2`

Dấu bằng xảy ra khi:

`4x^2 = 1/(2x) => 8x^3 = 1 => x^3 = 1/8 => x = 1/2 = 0,5`

`=> 4x = 2` và `y = 1/(10.0,5^2) = 0,4`

Số tiền ít nhất Bác An phải bỏ ra:

`500000.3 + 400000 = 1900000` (đồng)

Vậy bác An cần bỏ ra ít nhất `1900000` đồng để làm bể cá có chiều rộng `0,5 m`, chiều dài `2m` và chiều cao `0,4m`