giải giúp em ạ cảm ơn nhiều nhiều

Ta sẽ chứng minh BĐT Minkowski:

`sqrt((a+b)^2+(x+y)^2) <= sqrt(a^2+x^2)+sqrt(b^2+y^2)` với `a,b,x,y > 0`

`=>` `(a+b)^2+(x+y)^2 <= (sqrt(a^2+x^2)+sqrt(b^2+y^2))^2`

`=>` `a^2+2ab+b^2+x^2+2xy+y^2 <= a^2+x^2+b^2+y^2+2sqrt((a^2+x^2)(b^2+y^2))`

`=>` `ab+xy <= sqrt((a^2+x^2)(b^2+y^2))`

`=>` `(ab+xy)^2 <= (a^2+x^2)(b^2+y^2)`

`=>` `(ab)^2+2abxy+(xy)^2 <= (ab)^2+(ay)^2+(xb)^2+(xy)^2`

`=>` `(ay)^2+(xb)^2 >= 2abxy`

`=>` `(ay)^2-2*ay*xb+(xb)^2 >= 0`

`=>` `(ay-xb)^2 >= 0` (Đúng)

`=>` đpcm

Dấu bằng xảy ra khi `ay=xb` hay `a/b=x/y`

Quay lại bài toán, trước tiên, ta sẽ tính cạnh `DC`

Dựng điểm `M` sao cho `ADCM` là hình chữ nhật

Khi đó: `DeltaAMB` vuông tại `M` `=>` `AM^2+MB^2=AB^2`

`=>` `CD^2+(AD-BC)^2=AB^2`

`=>` `CD^2=AB^2-(AD-BC)^2=130^2-(70-20)^2=14400`

`=>` `CD=120` km

TH1: `E` trùng với `C`

`=>` Quãng đường tàu phải đi là:

`AC+BC=sqrt(AD^2+DC^2)+BC=20+10sqrt193 ~~ 158,92` km

TH2: `E` trùng với `D`

`=>` Quãng đường tàu phải đi là: `AD+DC=70+120=190` km

TH3: `E` không trùng với `C` và `D`

Đặt `DE=x \ (0 < x < 120)` `=>` `EC=120-x > 0`

Có: `AE=sqrt(x^2+AD^2)=sqrt(x^2+70^2)`

Có: `EB=sqrt(EC^2+BC^2)=sqrt((120-x)^2+20^2)`

Quãng đường tàu phải đi là:

`AE+EB=sqrt(x^2+4900)+sqrt((120-x)^2+400)`

Áp dụng BĐT Minkowski, ta có:

`sqrt(x^2+70^2)+sqrt((120-x)^2+20^2) >= sqrt((x+120-x)^2+(70+20)^2)=150`

Dấu bằng xảy ra `<=>` `(x)/(120-x)=70/20` `=>` `x=280/3` (Thỏa mãn)

Vậy để hành trình của tàu ngắn nhất thì trạm trung chuyển cần cách vị trí `C` một khoảng là `80/3` km