Đáp án: $B$

Giải thích các bước giải:

$y = x^8 + (m - 1)x^5 - (m^2 - 1)x^4 + 1$

$y' = 8x^7 + 5(m - 1)x^4 - 4(m^2 - 1)x^3$

$= x^3 [8x^4 + 5(m - 1)x - 4(m^2 - 1)]$

Đặt $g(x) = 8x^4 + 5(m - 1)x - 4(m^2 - 1) \Rightarrow y' = x^3g(x)$

Nhận xét: $x = 0$ là nghiệm của $y'$ và là cực tiểu, $x^3$ đổi dấu khi đi qua $x = 0$

$\Rightarrow g(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x = 0$

$\Leftrightarrow$ Có $2$ trường hợp xảy ra

$TH_1: x = 0$ là nghiệm kép của $g(x)$

$\Leftrightarrow g(0) = -4(m^2 - 1) = 0$

$\Leftrightarrow m = \pm 1$

Với $m = 1 \Rightarrow g(x) = 8x^4$

$\Rightarrow x = 0$ là nghiệm bội chẵn của $g(x)$ nên $g(x)$ không đổi dấu khi đi qua $x = 0$

$\Rightarrow$ Chọn $m = 1$

Với $m = -1 \Rightarrow g(x) = 8x^4 - 10x = x(8x^3 - 10)$

$g(x)$ có $2$ nghiệm phân biệt là $x = 0$ và $x = \dfrac{\sqrt[3]{10}}{2} > 0$

Nhận xét: $g(x) < 0$ với mọi $x \in \bigg(0; \dfrac{\sqrt[3]{10}}{2}\bigg)$ và $g(x) > 0$ với mọi $x \in (-\infty; 0)$

$\Rightarrow x^3g(x) < 0$ với mọi $x \in \bigg(0; \dfrac{\sqrt[3]{10}}{2}\bigg)$ và $x^3g(x) > 0$ với mọi $x \in (-\infty; 0)$

$\Rightarrow x = 0$ là cực đại của hàm số $y$

$\Rightarrow$ Loại $m = -1$

$TH_2: x = 0$ không phải nghiệm của $g(x) \Rightarrow m \ne \pm 1$

$x^3g(x)$ đổi dấu khi đi qua $x = 0$

$\Rightarrow \begin {cases} \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) > 0 \\ \lim \limits_{x \to 0^-} g(x) > 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow -4(m^2 - 1) > 0$

$\Leftrightarrow -1 < m < 1$

Vì $m \in \mathbb{Z} \Rightarrow m = 0$

$\Rightarrow$ Chỉ có $m = 0$ và $m = 1$ thoả mãn đề bài

$\Rightarrow$ Có $2$ giá trị $m$ thoả mãn đề bài

$\Rightarrow B$