`a,` Xét `Delta ABC` vuông tại `A` có:
`AB^2+AC^2=BC^2 (\text{ĐL Pythasgore})`
`=>AB=\sqrt{BC^2-AC^2}`
`AB=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3 (cm)`
Áp dụng tỉ số lượng giác cho `Delta ABC` vuông tại `A` có:
`sin(\hat{B})=(AB)/(BC)=3/5`
`=> sin(\hat{B})=3/5`
`=> \hat(B)≈53,13^0`
Xét `Delta ABC` vuông tại `A`, đường cao `AK` có:
`S_ABC= 1/2 . AB.AC=1/2 AK.BC`
`=> AB.AC=AK.BC(=2S_(ABC))`

`=> AK=(AB.AC)/(BC)=(3.4)/(5)=(12)/(5) (cm)`
`b,` Xét `Delta AMK` và `Delta AKB` có:
Chung`{(\text{Chung KAB}),(\hat{AMK}=\hat{AKB}=(90^0)):}`
`=> Delta AMK `$\backsim$`\Delta AKB (g.g)`
`=> (AM) / (AK)=(AK)/(AB) <=>AM.AB=AK^2 (1)`
Xét `Delta AKC` vuông tại `K` có:

`AK^2+KC^2=AC^2 (\text{ĐL Pythasgore})`

`=> AK^2=AC^2-KC^2 (2)`
Từ `(1)` và `(2)` suy ra:`AM.AB=AC^2-KC^2`
`c,` Áp dụng hệ thức lượng trong `\Delta AQB` đường 
cao `AG` có: `BG.BQ=AB^2`
Chứng minh tương tự:`BK.BC=AB^2`
`=> BG.BQ=BK.BC (=AB^2)`

`=> (BG)/(BK)=(BQ)(BC)`
Xét `\Delta BGK` và `\Delta BCQ` có:
`{(\text{Chung } \hat{QBC}),((BG)/(BK)=(BQ)/(BC)):}` `=> \Delta BGK `$\backsim$ `\Delta BCQ (c.g.c)`
`=> (KG)/(CQ)=(BG)/(BC)`
Áp dụng tỉ số lượng giác trong `\Delta ABG` có : `cos(\hat{ABG})=(BG)/(AB)`
hay `cos(\hat{ABQ})=(BG)/(AB)`
Áp dụng tỉ số lượng giác trong `\Delta ABC` có: `sin(\hat{C})=(AB)/(BC)`
Xét `cos(ABQ).sin(C)=(BG)/(AB) . (AB)/(BC) = (BG)/(BC)`
Mà `(BG)/(BC)=(KG)/(CQ) (cmt)` nên: `cos(ABQ).sin(C)=(KG)/(QC)`