giải bào toán này

bài toán lớp 12

giải kỹ

a)

    $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$

    $f(x) = 2(2 \sin x \cos x) + 2x$

$= 2 \sin(2x) + 2x$

    $f'(x) = (2 \sin(2x) + 2x)'$

$= 2 \cdot \cos(2x) \cdot (2x)' + 2$

$= 4 \cos(2x) + 2$

 $4 \cos(2x) + 2 \neq 4 \sin 2x + 2$

`->`Mệnh đề a) Sai.

---

b) 

 $f'(x) = 0 \Leftrightarrow 4 \cos(2x) + 2 = 0 \Leftrightarrow \cos(2x) = -\frac{1}{2}$.

 $\cos(2x) = \cos(\frac{2\pi}{3}) \Leftrightarrow \begin{cases} 2x = \frac{2\pi}{3} + k2\pi \\ 2x = -\frac{2\pi}{3} + k2\pi \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} x = \frac{\pi}{3} + k\pi \\ x = -\frac{\pi}{3} + k\pi \end{cases}$ (với $k \in \mathbb{Z}$).

 Xét các nghiệm thuộc đoạn $[-\pi; \pi]$:

     Với $x = \frac{\pi}{3} + k\pi$:

         $k=0 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3}$.

        $k=-1 \Rightarrow x = \frac{\pi}{3} - \pi = -\frac{2\pi}{3}$.

     Với $x = -\frac{\pi}{3} + k\pi$:

         $k=0 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3}$.

         $k=1 \Rightarrow x = -\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{2\pi}{3}$.

 Vậy có 4 nghiệm là $x = \left\{-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}\right\}$. Các nghiệm này đều là điểm cực trị vì $f''(x) = -8\sin(2x)$ khác 0 tại các điểm này.

`->` Mệnh đề b) Đúng.

c) 

 Hàm số nghịch biến khi $f'(x) < 0$.

$f'(x) < 0 \Leftrightarrow 4 \cos(2x) + 2 < 0 \Leftrightarrow \cos(2x) < -\frac{1}{2}$.

 Dựa vào đường tròn lượng giác, ta có: $\frac{2\pi}{3} + k2\pi < 2x < \frac{4\pi}{3} + k2\pi \Leftrightarrow \frac{\pi}{3} + k\pi < x < \frac{2\pi}{3} + k\pi$.

Với $k = -1$, ta có khoảng nghịch biến là $(-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$.

 $-\frac{2\pi}{3} \approx -2.09$ và $-\frac{\pi}{3} \approx -1.05$.

Khoảng nghịch biến là $(\approx -2.09; \approx -1.05)$.

 Vì $(-2; -1) \subset (-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3})$ nên hàm số nghịch biến trên khoảng $(-2; -1)$.

`->` Mệnh đề c) Đúng.

d) 

     $f(0) = 2 \sin(0) + 2(0) = 0$.

     $f(\frac{\pi}{2}) = 2 \sin(\pi) + 2(\frac{\pi}{2}) = 0 + \pi = \pi \approx 3.14$.

     $f(\frac{\pi}{3}) = 2 \sin(\frac{2\pi}{3}) + 2(\frac{\pi}{3}) = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{2\pi}{3} = \sqrt{3} + \frac{2\pi}{3} \approx 1.73 + 2.09 = 3.82$.

 So sánh các giá trị $0$, $\pi$, và $\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}$,  thấy GTLN là $\sqrt{3} + \frac{2\pi}{3}$.

`->` Mệnh đề d) Đúng.