Đáp án:

a) Đúng

b) Sai

c) Sai

d) Sai

Giải thích các bước giải:

a) Nhận xét: $f'(x)$ đổi chiều từ dương sang âm tại $x = 1$ và từ âm sang dương tại $x = -2$

$\Rightarrow f(1)$ là cực đại của $f(x)$ và $f(-2)$ là cực tiểu của $f(x)$

$\Rightarrow f(-2) < f(1) = \dfrac{7}{6}$

$\Leftrightarrow 6f(-2) < 7$

$\Rightarrow$ Đúng

b) Xét $\displaystyle \int^{\frac{3}{2}}_0 f'(x)dx = \displaystyle \int^1_0 f'(x)dx+ \displaystyle \int^{\frac{3}{2}}_1 f'(x)dx = f\bigg(\dfrac{3}{2}\bigg) - f(0)$, dễ thấy $\displaystyle \int^1_0 f'(x)dx+ \displaystyle \int^{\frac{3}{2}}_1 f'(x)dx > 0$

$\Rightarrow f\bigg(\dfrac{3}{2}\bigg) - f(0) > 0$

$\Rightarrow f\bigg(\dfrac{3}{2}\bigg) > f(0)$

$\Rightarrow$ Sai

c) Xét đường thẳng $y = ax + b$ đi qua $\bigg(\dfrac{3}{2}; -\dfrac{7}{4}\bigg)$ và $(2; 0)$

$\Rightarrow \begin {cases} \dfrac{3}{2}a + b = -\dfrac{7}{4} \\ 2a + b = 0 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} a = \dfrac{7}{2} \\ b = -7 \end {cases}$

$\Rightarrow y= \dfrac{7}{2}x - 7$

Phần parabol của $f'(x)$ có nghiệm là $x = -2$ và $x = 1$

$\Rightarrow$ Parabol có phương trình $y = a(x - 1)(x + 2) = a(x^2 + x - 2)$

Parabol đi qua $(0; 2) \Rightarrow -2a = 2$

$\Leftrightarrow a = -1$

$\Rightarrow$ Parabol có phương trình là $y = -x^2 - x + 2$

$\Rightarrow f'(x) = \begin {cases} -x^2 - x + 2, \hspace{0.5cm} x < \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{7}{2}x - 7, \hspace{0.5cm} x > \dfrac{3}{2} \end {cases}$

$\Rightarrow f(x) = \begin {cases} -\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 2x + C_1, \hspace{0.5cm} x < \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{7}{4}x^2 - 7x + C_2, \hspace{0.5cm} x > \dfrac{3}{2} \end {cases}$

$f(1) = -\dfrac{1}{3}x^3 -\dfrac{1}{2}x^2 + 2x + C_1 = \dfrac{7}{6}$

$\Leftrightarrow -\dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{2} + 2 + C_1 = \dfrac{7}{6}$

$\Leftrightarrow \dfrac{7}{6} +C_1 = \dfrac{7}{6}$

$\Leftrightarrow C_1 = 0$

$\Rightarrow \displaystyle \int^1_{-1} f'(x)dx = f(1) - f(-1) = \dfrac{7}{6} + \dfrac{13}{6} = \dfrac{10}{3}$

$\Rightarrow$ Sai

d) Vì $f(x)$ là hàm số liên tục nên $\lim \limits_{x \to \frac{3}{2}^-} f(x) = \lim \limits_{x \to \frac{3}{2}^+} f(x)$

$\Leftrightarrow -\dfrac{9}{8} - \dfrac{9}{8} + 3 = \dfrac{63}{16} - \dfrac{21}{2} + C_2$

$\Leftrightarrow \dfrac{3}{4} = -\dfrac{105}{16} + C_2$

$\Leftrightarrow C_2 = \dfrac{117}{16}$

$\Rightarrow f(x) = \begin {cases} -\dfrac{1}{3}x^3 - \dfrac{1}{2}x^2 + 2x, \hspace{0.5cm} x < \dfrac{3}{2} \\ \dfrac{7}{4}x^2 - 7x +\dfrac{117}{16}, \hspace{0.5cm} x > \dfrac{3}{2} \end {cases}$

$\Rightarrow \displaystyle \int^2_{-2} f(x)dx = \displaystyle \int^2_{\frac{3}{2}} + \displaystyle \int^{\frac{3}{2}}_{-2} f(x)dx$

$= \bigg(\dfrac{7}{12}x^3 - \dfrac{7}{2}x^2 + \dfrac{117}{16}x\bigg)\Bigg|^2_{\frac{3}{2}} + \bigg(-\dfrac{1}{12}x^4 - \dfrac{1}{6}x^3 + x^2\bigg)\Bigg|^{\frac{3}{2}}_{-2}$

$= \dfrac{11}{48} - \dfrac{175}{64}$

$= -\dfrac{481}{192}$

$\Rightarrow$ Sai