Đáp án + Giải thích các bước giải:

$C = \dfrac{x^2 + 6x + 10}{x^2 + 4}$

Gọi $y$ là một giá trị của $C$

$\Rightarrow y =\dfrac{x^2 +6x + 10}{x^2 + 4}$

$\Leftrightarrow y(x^2 +4) = x^2 + 6x + 10$

$\Leftrightarrow yx^2 + 4y - x^2 - 6x - 10 = 0$

$\Leftrightarrow (y - 1)x^2 - 6x + 4y - 10 = 0 (1)$

$TH_1: y = 1 \Rightarrow -6x - 6 = 0$

$\Leftrightarrow x = -1$

$TH_2: y \ne 1$

Xét phương trình bậc hai $(1)$ có $a = y - 1; b = -6; c = 4y - 10$

$\Delta = (-6)^2 - 4(y - 1)(4y - 10) = -16y^2 + 56y - 4$

Để tồn tại giá trị $y \Rightarrow (1)$ có nghiệm

$\Leftrightarrow \Delta = -16y^2 + 56y - 4 \ge 0$

$\Leftrightarrow 16y^2 - 56y + 4 \le 0$

$\Leftrightarrow (4y - 7)^2 \le 45$

$\Leftrightarrow -3\sqrt{5} \le 4y - 7 \le 3\sqrt{5}$

$\Leftrightarrow 7 - 3\sqrt{5} \le 4y \le 7 + 3 \sqrt{5}$

$\Leftrightarrow \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{4} \le y \le \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$

Nhận xét: $\dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{4} \le 1 \le \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$

$\Rightarrow \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{4} \le C \le \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$ với mọi $x \in \mathbb{R}$

$C_{\text{min}} = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{4} \Leftrightarrow \dfrac{x^2 + 6x + 10}{x^2 + 4} = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$

$\Leftrightarrow 1 + \dfrac{6x+ 6}{x^2 + 4} = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{6x + 6}{x^2 + 4} = \dfrac{3 - 3\sqrt{5}}{4}$

$\Leftrightarrow 24x + 24 = (3 - 3\sqrt{5})(x^2 + 4)$

$\Leftrightarrow (3 - 3\sqrt{5})x^2 + 12 - 12\sqrt{5} - 24x - 24 = 0$

$\Leftrightarrow (3 - 3\sqrt{5})x^2  - 24x - 12 - 12\sqrt{5} = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - \dfrac{8}{1 - \sqrt{5}}x - \dfrac{4(1 + \sqrt{5})}{1 - \sqrt{5}} = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + (2 + 2\sqrt{5})x + (1 + \sqrt{5})^2 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1 + \sqrt{5})^2 = 0$

$\Leftrightarrow x = -1 - \sqrt{5}$

$C_{\text{max}} = \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{4}\Leftrightarrow \dfrac{x^2 + 6x + 10}{x^2 + 4} = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$

$\Leftrightarrow 1 + \dfrac{6x+ 6}{x^2 + 4} = \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$

$\Leftrightarrow \dfrac{6x + 6}{x^2 + 4} = \dfrac{3 + 3\sqrt{5}}{4}$

$\Leftrightarrow 24x + 24 = (3 + 3\sqrt{5})(x^2 + 4)$

$\Leftrightarrow (3 + 3\sqrt{5})x^2 + 12 + 12\sqrt{5} - 24x - 24 = 0$

$\Leftrightarrow (3 + 3\sqrt{5})x^2  - 24x - 12 + 12\sqrt{5} = 0$

$\Leftrightarrow x^2 - \dfrac{8}{1 + \sqrt{5}}x - \dfrac{4(1 - \sqrt{5})}{1 + \sqrt{5}} = 0$

$\Leftrightarrow x^2 + (2 - 2\sqrt{5})x + (1 - \sqrt{5})^2 = 0$

$\Leftrightarrow (x + 1 - \sqrt{5})^2 = 0$

$\Leftrightarrow x = -1 + \sqrt{5}$

Vậy $C_{\text{max}}= \dfrac{7 + 3\sqrt{5}}{4}$ tại $x = -1 + \sqrt{5}$, $C_{\text{min}} = \dfrac{7 - 3\sqrt{5}}{4}$ tại $x = -1 - \sqrt{5}$