Đáp án`:`

`***` Bất đẳng thức Cauchy cho `3` số`:`

`(a+b+c)/3 >= root{3}{abc}` với `a;b;c >= 0`

Đẳng thức xảy ra khi `a=b=c`

`-` Cách chứng minh`:`

Đặt `x^3=a;y^3=b;z^3=c`. Áp dụng BĐT Cauchy cho `2` số không âm ta có`:`

`(x^3+y^3)+(z^3+xyz) >= 2 sqrt(x^3 y^3)+2 sqrt(xyz^4)=2sqrt(xy) (xy+z^2)`   `(1)`

`xy+z^2 >= 2 sqrt(xyz^2)=2z sqrt(xy)`   `(2)`

Thay `(2)` vào `(1)` ta được`:`

`x^3+y^3+z^3+xyz >= 2sqrt(xy) . 2z sqrt(xy)=4xyz`

Do đó `x^3+y^3+z^3 >= 3xyz`. Vì thế `(x^3+y^3+z^3)/3 >= xyz`

Hay `(a+b+c)/3 >= \root{3}{abc}`

Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c.`

Vậy đẳng thức đã được chứng minh.