Đáp án + Giải thích các bước giải:

Bài 4:

a) Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, ta có:

$AH^2 + HB^2 = AB^2($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow AH^2 + 5^2 = 13^2$

$\Leftrightarrow AH^2 = 144$

$\Leftrightarrow AH = 12$

$\Rightarrow \sin B = \sin \widehat{ABH} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{12}{13}$

Ta có: $\begin {cases} \widehat{ABH} + \widehat{BAH} = 90^o \\ \widehat{ABC} + \widehat{C} = 90^o \end {cases}$

$\Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{C}$

$\Rightarrow \sin C = \sin \widehat{BAH} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{5}{13}$

b) Ta có:

$\begin {cases} \widehat{ABH} + \widehat{C} = 90^o \\ \widehat{CAH} + \widehat{C} = 90^o \end {cases}$

$\Rightarrow \widehat{ABH} = \widehat{CAH}$

$\Rightarrow \tan \widehat{ABH} = \tan \widehat{CAH}$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{BH} = \dfrac{CH}{AH}$

$\Rightarrow AH^2 = CH \cdot BH = 3 \cdot 4 = 12$

$\Rightarrow AH = 2\sqrt{3}$

Xét $\triangle AHB$ vuông tại $H$, ta có:

$AH^2 + HB^2 = AB^2($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow 12 + 9 = AB^2$

$\Leftrightarrow AB^2 = 21$

$\Leftrightarrow AB = \sqrt{21}$

$\Rightarrow \sin B = \sin \widehat{ABH} = \dfrac{AH}{AB} = \dfrac{2\sqrt{3}}{\sqrt{21}}= \dfrac{2\sqrt{7}}{7}$

Ta có: $\begin {cases} \widehat{ABH} + \widehat{BAH} = 90^o \\ \widehat{ABC} + \widehat{C} = 90^o \end {cases}$

$\Rightarrow \widehat{BAH} = \widehat{C}$

$\Rightarrow \sin C = \sin \widehat{BAH} = \dfrac{BH}{AB} = \dfrac{3}{13}$

Bài 5:

Xét $\triangle ANC$ vuông tại $N$, ta có:

$AN^2 + CN^2 = AC^2 ($định lý Pytago$)$

$\Rightarrow CN^2  + 3,6^2 = 6,4^2$

$\Leftrightarrow CN^2 = 28$

$\Leftrightarrow CN = 2\sqrt{7}(cm)$

$\Rightarrow \sin \widehat{CAN} = \dfrac{CN}{AC}= \dfrac{2\sqrt{7}}{6,4} = \dfrac{5\sqrt{7}}{16}$

$\Rightarrow \widehat{CAN} \approx 55,77^o$

Xét $\triangle ANB$ vuông tại $N$, ta có:

$\sin \widehat{ABN} = \dfrac{AN}{AB} = \dfrac{3,6}{9} = \dfrac{2}{5}$

$\Rightarrow \widehat{ABN} \approx 23,58^o$

Xét $\triangle AND$ vuông tại $N$, ta có:

$\cos \widehat{NAD} = \dfrac{AN}{AD}$

$\Rightarrow \cos 34^o = \dfrac{3,6}{AD}$

$\Leftrightarrow AD = \dfrac{3,6}{\cos 34^o} \approx 4,34(cm)$