Đáp án: $M\ge 3$ 

Giải thích các bước giải:

Ta có:

$M=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+\dfrac{2\sqrt{xy}}{x+y}$

$\to M=\dfrac{x^2+y^2}{xy}+2+\dfrac{2\sqrt{xy}}{x+y}-2$

$\to M=\dfrac{(x+y)^2}{xy}+\dfrac{2\sqrt{xy}}{x+y}-2$

Đặt $\dfrac{x+y}{\sqrt{xy}}=t$

$\to t\ge \dfrac{2\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=2$

$\to M=t^2+\dfrac2t-2$

$\to M=\dfrac78t^2+(\dfrac{t^2}4+\dfrac1t+\dfrac1t)-2$

$\to M\ge \dfrac78\cdot 2^2+3\sqrt[3]{\dfrac{t^2}8\cdot\dfrac1t\cdot\dfrac1t}-2$

$\to M\ge 3$

Dấu = xảy ra khi $t=2\to x=y$