Dễ thấy `n=0` thỏa mãn. Ta tiếp tục xét với `n >= 1`.

TH1: `n` chia hết cho `4`

`3^n` có chữ số tận cùng là `1`

`4^n` có chữ số tận cùng là `6`

`=>` `3^n+4^n` có chữ số tận cùng là `7`

`=>` `3^n+4^n` không chia hết cho `5`

`=>` `3^n+4^n` không chia hết cho `35`

TH2: `n` chia `4` dư `1`

`3^n` có chữ số tận cùng là `3`

`4^n` có chữ số tận cùng là `4`

`=>` `3^n+4^n` có chữ số tận cùng là `7`

`=>` `3^n+4^n` không chia hết cho `5`

`=>` `3^n+4^n` không chia hết cho `35`

TH3: `n` chia `4` dư `2`

Đặt `n=4k+2` với `k in NN`

`3^n+4^n=3^(4k+2)+4^(4k+2)=9*3^(4k)+16*4^(4k)`

`=>` `3^n+4^n=9*(3^4)^k+16*(4^4)^k=9*81^k+16*256^k`

Ta có: `81^k equiv 11^k \ (mod 35) => 9*81^k equiv 9*11^k \ (mod 35)`

Ta có: `256^k equiv 11^k \ (mod 35) => 16*256^k equiv 16*11^k \ (mod 35)`

`=>` `3^n+4^n equiv 9*11^k+16*11^k equiv 25*11^k \ (mod 35)`

Dễ thấy `25*11^k` không chia hết cho `35` với `k in NN`

`=>` `3^n+4^n` không chia hết cho `35`

TH4: `n` chia `4` dư `3`

`3^n` có chữ số tận cùng là `7`

`4^n` có chữ số tận cùng là `4`

`=>` `3^n+4^n` có chữ số tận cùng là `1`

`=>` `3^n+4^n` không chia hết cho `5`

`=>` `3^n+4^n` không chia hết cho `35`

Từ `4` trường hợp, ta được điều phải chứng minh