$\text{ Theo bài ra giả sử tồn tại 2 số nguyên tố p,q như vậy}$

$\text{Ta sẽ đặt $\left \{ {{p + q =a^{2} } \atop {p+4q = b^{2} }} \right.$  với a,b là các số tự nhiên khác 0 }$

$\text{ Khi đó p + 4q - ( p + q ) = 3q = (b- a)(b+a) }$

$\text{ Vì q là số nguyên tố nên 3q chỉ có các ước dương là 1,3,q,3q}$

$\text{ Vì a,b là các số tự nhiên khác 0 nên b - a < b + a}$

$\text{Khi này ta xét các trường hợp có thể xảy ra như sau :}$

$\text{Trường hợp 1 : b - a = 1 , b + a = 3q }$

$\text{ đây là hệ phương trình 2 ẩn nên ta sẽ dễ dàng tính được }$

$\text{ a = $\frac{3q - 1}{2}$  và b = $\frac{3q+1}{2}$ }$

$\text{ Vì a,b nguyên nên q phải lẻ ⇒ q≥3 }$

$\text{Quay trở lại điều kiện p + q = $a^{2}$ }$

$\text{⇒ p = $a^{2}$ - q }$

$\text{ Thay a = $\frac{3q - 1}{2}$ và khai triển ra ta  được }$

$\text{ p = $\frac{9q^{2} -10q + 1 }{4}$ = $\frac{(9q - 1 ) (q- 1)}{4}$ }$

$\text{ Với q = 3, ta thay vào tính được p = 13, thử lại thấy thỏa mãn p +q và p + 4q là số chính phương}$

$\text{Xét q ≥ 5, Nếu q ≡ 1 ( mod 4 ) thì 9q - 1 và q - 1 đều chia hết cho 4}$

$\text{⇒  p = $\frac{9q^{2} -10q + 1 }{4}$ = $\frac{(9q - 1 ) (q- 1)}{4}$ sẽ chia hết cho 4 ( vô lý vì p là số nguyên tố }$

$\text{ Nếu q ≡ 3 ( mod 4 ) ⇒ 9q - 1 , q - 1 đều có các ước nguyên tố lẻ}$

$\text{ ⇒ p là tích của ít nhất 2 ước nguyên tố lẻ ( vô lý vì p nguyên tố ) ( giải thích vì phép chia cho 4 sẽ không làm mất đi các ước nguyên tố lẻ đó }$

$\text{ Vậy q ≥ 5 sẽ không có p thỏa mãn }$

$\text{ Trường hợp 2  :  b - a = 3 , b + a = q }$

$\text{ Biến đổi tương tự như trên ta sẽ có điều kiện sau : }$

$\text{ p = $\frac{q^{2} - 10q + 9 }{4}$ = $\frac{(q-1)(q-9)}{4}$ với điều kiện q ≥9}$

$\text{ q = 11 ⇒ p = 5 ( chọn ) }$

$\text{ với q ≥ 13 thì tương tự ta lập luận như trên với 2 trường hợp nhỏ hơn là q≡1( mod 4 ) và q≡3( mod 4 ) }$

$\text{ Kết luận : cặp (p,q) thỏa mãn bài toán là (13,3) và (5,11)}$

$\text{Đây là cách của mình, bạn có thể tham khảo }$

$\text{#hoangthuyc2}$