Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O;R). Các đường cao BE và CF cắt nhau tại H a. Chứng minh: AEHF và BCEF là các tứ giác nội tiếp đường tròn b. Gọi M và N thứ tự là giao điểm thứ hai của đường tròn (O;R) với BE và CF. Chứng minh: MN song song EF c. Chứng minh rằng OA vuông góc EF

Giải thích các bước giải:

a. Vì BE, CF là đường cao của $\Delta ABC\to BE\perp AC, CF\perp AB$ 

$\to \widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

Tứ giác $AEHF$ có:

$\Rightarrow\widehat{AEH}+\widehat{AEF}=180^o$ mà chúng ở vị trí đối đỉnh

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính (AH)

Ta có $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

Đỉnh F, E cùng nhìn cạnh BC dưới một góc $90^o$ nên $\to BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính (BC)

b. Từ câu a $\to\widehat{FEB}=\widehat{FCB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BF của (BC))

$\widehat{FCB}=\widehat{NCB}=\widehat{NMB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung NB của (O))

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{FEB}=\widehat{NMB}$ mà chúng ở vị trí đồng vị

$\to MN//EF$

c. Kẻ $At$ là tiếp tuyến của (O)
$\to \widehat{tAB}=\widehat{ACB}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến, dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

$\widehat{ACB}=\widehat{AFE}$ (vì $BCEF$ nội tiếp, hai góc cùng bù với $\widehat{EFB}$)

Từ hai điều trên suy ra $\widehat{tAB}=\widehat{AFE}$ mà chúng ở vị trí so le trong

$\to At//EF$

Do $At\perp AO$ (do cách dựng $At$ là tiếp tuyến của (O))

$\to EF\perp AO$.