Đáp án+Giải thích các bước giải:

 `P=(\frac{\sqrt{5}+1}{1+\sqrt{5}+\sqrt{3}}+\frac{\sqrt{5}-1}{1+\sqrt{3}-\sqrt{5}}).(\sqrt{3}-\frac{4}{\sqrt{3}}+2).\sqrt{0,2}`

`=[\frac{(\sqrt{5}+1).(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}).(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})}+\frac{(\sqrt{5}-1).(1+\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}).(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})}].(\frac{\sqrt{3}.\sqrt{3}}{\sqrt{3}}-\frac{4}{\sqrt{3}}+\frac{2}{\sqrt{3}}).\sqrt{0,2}`

`=[\frac{\sqrt{5}+\sqrt{15}-5+1+\sqrt{3}-\sqrt{5}+\sqrt{5}+\sqrt{15}+5-1-\sqrt{3}-\sqrt{5}}{(1+\sqrt{3}+\sqrt{5}).(1+\sqrt{3}-\sqrt{5})}].(\frac{3-4+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}).\sqrt{0,2}`

`=[\frac{2\sqrt{15}}{(1+\sqrt{3})^{2}-(\sqrt{5})^{2}}].(\frac{-1+2\sqrt{3}}{\sqrt{3}}).\sqrt{0,2}`

`=[\frac{2\sqrt{15}}{4+2\sqrt{3}-5}].\sqrt{0,2}.\frac{(-1+2\sqrt{3}).\sqrt{3}}{3}`

`=\frac{2\sqrt{15.0,2}}{2\sqrt{3}-1}.\frac{-\sqrt{3}+6}{3}`

`=\frac{2\sqrt{3}.(-\sqrt{3}+6)}{3.(2\sqrt{3}-1)}`

`=\frac{(-1).2\sqrt{3}.\sqrt{3}+12\sqrt{3}}{6\sqrt{3}-3}`

`=\frac{-2.3+12\sqrt{3}}{6\sqrt{3}-3}`

`=\frac{12\sqrt{3}-6}{6\sqrt{3}-3}`

`=\frac{6.(2\sqrt{3}-1)}{3.(2\sqrt{3}-1)}`

`=2`

Vậy giá trị của biểu thức `P` có giá trị là số nguyên

`->` Điều phải chứng minh