`b)` Gọi `D,E` lần lượt là giao điểm của `IC,AK` với đường thẳng song song `AC` tại `H`

`\triangle AMN` có `AN` $\parallel$ `HE` nên:

`(AN)/(HE) = (NM)/(HM)` (hệ quả Thales)  `(1)`

`\triangle MNC` có `NC` $\parallel$ `HD` nên:

`(CN)/(HD) = (NM)/(HM)` (hệ quả Thales)  `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` suy ra:

`(AN)/(HE) = (CN)/(HD) => (AN)/(CN) = (HE)/(HD)    (3)`

`\triangle CKA` có `AC` $\parallel$ `HE` nên:

`(CK)/(HK) = (AC)/(HE)` (hệ quả Thales)  `(4)`

`\triangle HID` có `HD` $\parallel$ `AC` nên:

`(HI)/(AI) = (HD)/(AC)` (hệ quả Thales)  `(5)`

Từ `(3),(4),(5)` suy ra:

`(AN)/(CN) . (CK)/(HK) . (HI)/(AI) = (HE)/(HD) . (AC)/(HE) . (HD)/(AC) = 1  (6)`

`\triangle ACH` có `AK` là đường phân giác nên:

`(CK)/(HK) = (AC)/(AH)  (7)`

`\triangle ABH` có `BP` là đường phân giác nên:

`(HI)/(AI) = (BH)/(AB)  (8)`

Từ `(6),(7),(8)` suy ra:

`(AN)/(CN) . (CK)/(HK) . (HI)/(AI) = (AN)/(CN) . (AC)/(AH) . (BH)/(AB) = 1`

`=> (AN)/(CN) = (AH)/(AC) . (AB)/(BH) = (AH.AB)/(AC.BH)  (9)`

Xét `\triangle ABH` và `\triangle CAH` có:

`{(\hat{AHB} = \hat{CHA} = 90^@),(\hat{BAH} = \hat{HCA}  (= 90^@ - \hat{HAC})):}`

`=> \triangle ABH` $\backsim$ `\triangle CAH   (g-g)`

`=> (BH)/(AH) = (AB)/(AC) => BH.AC=AH.AB  (10)`

Từ `(9)` và `(10)` suy ra:

`(AN)/(CN) = (AH.AB)/(AC.BH) = (AH.AB)/(AH.AB) = 1`

`=> AN = NC`

`=>  N` là trung điểm `AC`