`\color{#FF0000}{T}\color{#FF7F24}{i}\color{#FFFF00}{t}\color{#7FFF00}{u}\color{#00F5FF}{u}\color{#FF1493}{u}`

Giả sử `\root{3}{2}` là `1` số hữu tỉ

`->` Tổn tại `a; b in ZZ^(**)` sao cho `\root{3}{2}=(a)/(b); (a; b)=1`

`-> a^3=2b^3`

`-> a^3` $\vdots$ `b^3`

Gọi `c` là `1` ước nguyên tố của `b`

`-> a` $\vdots$ `c`

`-> c` là ước nguyên tố chung của `a; b`

Mà `(a; b)=1`

`->` Vô lí

`-> \root{3}{2}` là `1` số vô tỉ

Giả sửa `\root{3}{2}=p+q\sqrt{r} (p; q; r in QQ, r>0)`

`-> 2=p^3+3p^2q\sqrt{r}+3pq^2r+q^3r\sqrt{r}`

`-> 2-p^3-3pq^2r=3p^2q\sqrt{r}+q^3r\sqrt{r}=q\sqrt{r}(3p^2+q^2r)`

`_` Nếu `q\sqrt{r}(3p^2+q^2r)=0`

`-> q=0`

`-> p=\root{3}{2}`

`->` Loại

`_` Nếu `q\sqrt{r}(3p^2+q^2r)!=0`

`-> \sqrt{r}=(2-p^3-3pq^2r)/(q(3p^2+q^2r))`

`-> \root{3}{2}=p+q\sqrt{r}` là `1` số hữ tỉ

`->` Loại

`->` Trái với giả sử là đúng

Vậy không thể biểu diễn `\root{3}{2}` dưới dang `p+q\sqrt{r}` với `p; q; r in QQ, r>0`