a,

Đồng dạng -> ∠A=∠H=90  ;  chung góc B -> g-g

-> AH / BH = AC / AB

-> AH.AB=BH.AC   (1)

b,

Xét t/g AHC và ABC -> ∠A=∠H (cmtr) ; chung góc C -> g-g

-> AH/AB = HC/AC

-> AH.AC = AB.HC (2)

Nhân 2 biểu thức của (1) và (2)

-> AH.AB.AH.AC = BH.AC.AB.HC

-> AH².AB.AC = BH.CH.AB.AC

-> AH²=HB.HC

-> Đpcm

c)

Ta có: AB và HM vuông với AC

-> AB//HM

-> T/g CMH và CAB  đồng dạng 

-> CP là đường trung tuyến

-> CP đi qua trung điểm của 2 đường song song là AB và HM

-> Q trung điểm HM ; P trung điểm AB

-> QH=QM ; PA=PB

-> QH/PB = QM/PA

-> Đpcm

Xét t/g API và HQI -> ∠AIP=∠HIQ (đối đỉnh) ; ∠PAI=∠QHI ( so le trong)

-> đồng dạng (g-g)

-> IP/IQ=HQ/AP

Mà QH=QM ; PA=PB (cmtr)

-> IP/IQ = MQ / BP

Xét t/g BPI và MQI -> IP/IQ=MQ/BP (cmtr) ; ∠BPI=∠MQI ( so le trong) 

->đồng dạng (c-g-c)

-> ∠BIP=∠MIQ

-> ∠BIP+∠BIQ=∠MIQ+∠BIQ

-> ∠QIP=∠BIM

Mà P-I-Q thẳng hàng

-> B-I-M thẳng hàng

-> Đpcm

$nguyentienvan^{264}{hoidap247.com}$