Đáp án:

$a)$ Đúng

$b)$ Đúng

$c)$ Sai

$d)$ Sai

Giải thích các bước giải:

$a)$ Quan sát đồ thị, có thể thấy trong đoạn $[-1; 2]$ thì $f(x)$ đạt giá trị lớn nhất là $3$ tại $x =-1$ và $x = 2$

$\Rightarrow$ Đúng

$b)$ Quan sát đồ thị, có thể thấy $f(x)$ tăng cho đến khi đi qua điểm $(-1; 3)$ thì bắt đầu giảm, khi đi qua điểm $(1; -1)$ thì $f(x)$ lại bắt đầu tăng

$\Rightarrow (-1; 3)$ và $(1; -1)$ là $2$ cực trị của hàm số $f(x)$

$\Rightarrow$ Đúng

$c) f(x) = x^3 + bx^2 + cx + d$

$\Rightarrow f(0) = d = 1$

$\Rightarrow f(x) = x^3 + bx^2 + cx + 1$

Ta có: $\begin {cases} f(2) = 4b + 2c + 9 = 3 \\ f(-1) = b - c = 3 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} 2b + c = -3 \\ b - c = 3 \end {cases}$

$\Leftrightarrow \begin {cases} b = 0 \\ c = -3 \end {cases}$

$\Rightarrow f(x) = x^3 - 3x + 1$

$f'(x) = 3x^2 - 3$

Xét $g(x) = f'(x) \cdot \dfrac{x - 2025}{x(x - 1)^2}$

$= \dfrac{(3x^2 - 3)(x - 2025)}{x(x - 1)^2}$

$= \dfrac{3(x + 1)(x - 2025)}{x(x - 1)}$

Ta có: $\lim \limits_{x \to 0^+} 3(x + 1)(x - 2025) = -6075 < 0$

$\lim \limits_{x \to 0^+} \dfrac{1}{x(x - 1)} = -\infty$

$\Rightarrow \lim \limits_{x \to 0^+} g(x) = +\infty$

$\Rightarrow x = 0$ là $1$ đường tiệm cận đứng của $g(x)$

Ta có: $\lim \limits_{x \to 1^+} 3(x + 1)(x - 2025) = -12144 < 0$

$\lim \limits_{x \to 1^+} \dfrac{1}{x(x - 1)} = +\infty$

$\Rightarrow \lim \limits_{x \to 1^+} g(x) = -\infty$

$\Rightarrow x = 1$ là $1$ đường tiệm cận đứng của $g(x)$

Ta có: $\lim \limits_{x \to +\infty} g(x) = \lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{3(x + 1)(x - 2025)}{x(x - 1)}$

$= \lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2\big(1 + \frac{1}{x}\big)\big(1 - \frac{2025}{x})}{x^2(1 - \frac{1}{x})}$

$= \lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{3\big(1 + \frac{1}{x}\big)\big(1 - \frac{2025}{x})}{1 - \frac{1}{x}}$

$= \dfrac{3 \cdot 1 \cdot 1}{1} = 3$

$\Rightarrow y = 3$ là $1$ đường tiệm cận ngang của $g(x)$

$\Rightarrow g(x)$ có $3$ đường tiệm cận

$\Rightarrow$ Sai

$d) f(x) = x^3 - 3x + 1$ là tốc độ tăng trưởng doanh thu của doanh nghiệp $X$ trong $10$ ngày đầu tiên

$\Rightarrow$ Doanh thu của doanh nghiệp $X$ trong $10$ ngày đầu tiên là $\displaystyle \int^{10}_1 f(x)dx$

$\displaystyle \int^{10}_1 f(x)dx = \int^{10}_1 (x^3 - 3x + 1)dx$

$= \bigg(\dfrac{x^4}{4} - \dfrac{3x^2}{2} + x\bigg)\Bigg|^{10}_1$

$= (2500 - 150 + 10) - \bigg(\dfrac{1}{4} - \dfrac{3}{2} + 1\bigg)$

$= 2360,25 ($triệu đồng$)$

$= 2,36025 ($tỷ đồng$)$

Vì đề bài không đưa ra thông tin gì về việc làm tròn kết quả nên coi như kết quả lấy chính xác là $2,36025$ tỷ đồng

$\Rightarrow$ Sai