tìm tất cả các số nguyên tố (p;q;r)thỏa mãn (p^2+1)(q^2+3)=r^2+21 SOS Làm gấp giúp mình ạ! mai mình cần vào ngày mai rồi

Question

tìm tất cả các số nguyên tố (p;q;r)thỏa mãn (p^2+1)(q^2+3)=r^2+21 SOS Làm gấp giúp mình ạ! mai mình cần  vào ngày mai rồi

hoanganhnguyen09302 · Answer

TH1: `r=2` `=>` `(p^2+1)(q^2+3)=25`
Do `p^2+1 > 1` và `q^2+3 > 1` với `p,q` là số nguyên tố
`=>` `{(p^2+1=5),(q^2+3=5):}`
`=>` Không có `p,q` thỏa mãn
TH2: `r >= 3` `=>` `r` là số lẻ và không chia hết cho `4`
`=>` `r^2` chia `4` dư `1`
`=>` `r^2+21` chia `4` dư `2`
`=>` `VP` chia `4` dư `2`
Nếu `q >= 3` thì `q` là số lẻ và không chia hết cho `4` `=>` `q^2` chia `4` dư `1`
`=>` `q^2+3` chia hết cho `4`
`=>` `VT` chia hết cho `4`
`=>` Vô lý
`=>` `q=2`
`=>` `7(p^2+1)=r^2+21`
Do `VT` chia hết cho `7` nên `VP=r^2+21` chia hết cho `7`
`=>` `r^2` chia hết cho `7`
`=>` `r=7`
`=>` `p=3`
Vậy `(p;q;r)=(3;2;7)`

nykoco · Answer

Đáp án+Giải thích các bước giải:
`Do  p ; q ; r` là các số nguyên tố 
`=> p ; q ; r >= 2`
`+` Xét `q = 3` ta có: `12( p^2 + 1 ) = r^2 + 21`
`=> r^2 + 21  \vdots  3 => r^2  \vdots  3 => r = 3`
khi đó: `12( p^2 + 1 ) = 30` ( loại )
`+` Xét `r = 3` ta có: `( p^2 + 1 )( q^2 + 3 ) = 30`
`=> ( p^2 + 1 )( q^2 + 3 )  \vdots  3`
Mà số chính phương chia `3` dư `0` hoặc dư `1`
`=> q^2 + 3  \vdots  3 => q^2 \vdots  3 => q = 3`
khi đó: `12( p^2 + 1 ) = 30` ( loại )
`+` Xét `p = 3` ta có: `10( q^2 + 3 ) = r^2 + 21`
`=> 10q^2 + 30 = r^2 + 21`
`=> 10q^2 + 9 = r^2`
`Do  p ; q ; r >= 2 => r^2 + 21 >= 35 => r^2 >= 14 => r > 2`
`=> r` lẻ `=> r^2` chia `4` dư `1`
`=> 10q^2 + 9` chia `4` dư `1`
`=> 2q^2  \vdots  4`
`=> q^2  \vdots  4`
`=> q  \vdots  2`
`=> q = 2`
khi đó: `10 . 4 + 9 = r^2`
`=> r^2 = 49`
`=> r = 7`
`+` Xét `p ; q ; r` không chia hết cho `3` ta có:
`p^2 ; q^2 ; r^2` chia `3` dư `1`
`=> ( p^2 + 1 )( q^2 + 3 )` chia `3` dư `2`
Và `r^2 + 21` chia `3` dư `1`
Mà `( p^2 + 1 )( q^2 + 3 ) = r^2 + 21` 
`=>` vô lý
`Vậy  ( p ; q ; r ) = ( 3 ; 2 ; 7 )`

TRẢ LỜI

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tham Gia Group Dành Cho Lớp 8 Chia Sẻ, Trao Đổi Tài Liệu Miễn Phí

Bạn muốn hỏi điều gì?

Tìm kiếm với hình ảnh

Hãy đăng nhập hoặc tạo tài khoản miễn phí!

Lưu vào