Đáp án + Giải thích các bước giải:

Gọi hình thang vuông $ABCD$ như hình vẽ

$\Rightarrow S_{ABCD} = \dfrac{AD(AB + CD)}{2} = 24$

Hình thang có đáy nhỏ là $CD = x(m)$, đáy lớn là $AB = 2x(m)$ với $x > 0$

$\Rightarrow S_{ABCD} = \dfrac{(x + 2x)}{2} = 24(m^2)$

$\Leftrightarrow AD = \dfrac{48}{3x} = \dfrac{16}{x}(m)$

Kẻ $CH \bot AB$ tại $H$

Tứ giác $AHCD$ có $\widehat{CDA} = \widehat{DAH} = \widehat{AHC} = 90^o$

$\Rightarrow AHCD$ là hình chữ nhật

$\Rightarrow \begin {cases} AH = CD = x (m) \\ CH = AD = \dfrac{16}{x}(m) \end {cases}$

$\Rightarrow \begin {cases} HB = x (m) \\ CH = \dfrac{16}{x}(m) \end {cases}$

$\Rightarrow BC = \sqrt{CH^2 + HB^2} = \sqrt{x^2 + \bigg(\dfrac{16}{x}\bigg)^2} = \sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}$

$\Rightarrow P(x) = AB + BC + CD + AD = 2x + \sqrt{\dfrac{x^4 + 256}{x^2}} + x + \dfrac{16}{x} = 3x + \dfrac{16}{x} + \sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}$

Xét $P(x) = 3x + \dfrac{16}{x} + \sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}$, ta thấy:

$\displaystyle \lim \limits_{x \to 0} P(x) = +\infty$

$\Rightarrow P(x)$ có tiệm cận đứng $x = 0$

$\displaystyle \lim \limits_{x \to +\infty} P(x) = +\infty + 0 + \sqrt{+\infty} = +\infty$ 

$\displaystyle \lim \limits_{x \to -\infty} P(x) = \lim \limits_{x \to -\infty} 2x + \lim \limits_{x \to -\infty} \bigg(x + \dfrac{16}{x} + \sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}\bigg)$

$= -\infty + \lim \limits_{x \to -\infty} \bigg(\dfrac{x^2 + \frac{256}{x^2} + 32 - x^2 - \frac{256}{x^2}}{x + \frac{16}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{256}{x^2}}}\bigg)$

$= -\infty + \lim \limits_{x \to -\infty} \bigg(\dfrac{32}{x + \frac{16}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{256}{x^2}}}\bigg)$

Nhận xét: $\lim \limits_{x \to -\infty} \bigg(x + \dfrac{16}{x} - \sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}\bigg) = -\infty$

$\Rightarrow \lim \limits_{x \to -\infty} P(x) = -\infty$

$\Rightarrow P(x)$ không có tiệm cận ngang

Xét $P(x) - 2x = x + \dfrac{16}{x} + \sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}$, ta thấy:

$\displaystyle \lim \limits_{x \to -\infty} [P(x) - 2x] = \lim \limits_{x \to -\infty} \bigg(x + \frac{16}{x} +\sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}\bigg)$

$= \lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + \frac{256}{x^2} + 32 - x^2 - \frac{256}{x^2}}{x + \frac{16}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{256}{x^2}}}$

$= \lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{32}{x + \frac{16}{x} - \sqrt{x^2 + \frac{256}{x^2}}}$

$= \dfrac{32}{-\infty} = 0$

$\Rightarrow y = 2x$ là $1$ tiệm cận xiên của $P(x)$

Xét $P(x) - 4x = \dfrac{16}{x} - x + \sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}$, ta thấy:

$\displaystyle \lim \limits_{x \to +\infty} [P(x) - 4x] = \lim \limits_{x \to +\infty} \bigg(\frac{16}{x} - x +\sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}\bigg)$

$= \lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^2 + \frac{256}{x^2} - 32 - x^2 - \frac{256}{x^2}}{\frac{16}{x} - x - \sqrt{x^2 + \frac{256}{x^2}}}$

$= \lim \limits_{x \to +\infty} \dfrac{-32}{\frac{16}{x} - x - \sqrt{x^2 + \frac{256}{x^2}}}$

Nhận xét: $\lim \limits_{x \to +\infty} \bigg(\dfrac{16}{x} - x - \sqrt{x^2 + \dfrac{256}{x^2}}\bigg) = -\infty$

$\Rightarrow \lim \limits_{x \to -\infty} \dfrac{-32}{\frac{16}{x} - x - \sqrt{x^2 + \frac{256}{x^2}}}= 0$

$\Rightarrow y = 4x$ là $1$ tiệm cận xiên của $P(x)$

$\Rightarrow P(x)$ có $3$ tiệm cận, gồm $1$ tiệm cận đứng $x = 0$ và $2$ tiệm cận xiên $y = 2x$ và $y = 4x$