Câu 3. (2,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Vẽ các tiếp tuyến Ax, By

(Ax, By và nửa đường tròn thuộc cùng một nửa mặt phẳng bờ AB). Qua điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến thứ ba cắt Ax, By theo thứ tự tại C, D. Gọi N là giao điểm của AD và BC, từ M kẻ đường thẳng vuông góc với AB cắt AB tại H. Chúng mình rằng:

a) Chứng minh các điểm A,O, M, C cùng thuộc một đường tròn..

b) Chứng minh OM² = AC.BD.

c) Chứng minh H. M, N thẳng hàng

Giải thích các bước giải:

a.Vì $CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90^o$

$\to CAOM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

b. Vì $CA, CM$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to CA=CM,OC$ là phân giác $\widehat{AOM}$

Tương tự: $DB=DM, OD$ là phân giác $\widehat{BOM}$

Mà $\widehat{AOM}+\widehat{BOM}=180^o$

$\to OC\perp OD$

$\to OM^2=MC.MD=AC.BD$

c.Ta có: $AC//BD(\perp AB)$

$\to \dfrac{NA}{ND}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{MC}{MD}$

$\to MN//AC$

$\to MN\perp AB$

Lại có: $MH\perp AB$

$\to H, M, N$ thẳng hàng