Xét số dư của $37$ số nguyên dương được chọn khi chia cho $7$, ta thu được $37$ số dư tương ứng. Ta có nhận xét rằng $37$ số dư này phải thuộc $7$ loại số dư khác nhau với bất kỳ phép chia cho $7$ của số nguyên dương nào. Nếu tất cả $7$ loại số dư này chứa $37$ số dư trên tồn tại đồng thời thì khi đó ta lấy tổng của các số bị chia mà số dư của các số này thuộc $7$ loại số dư trên khi chia cho $7$ thì ta được tổng cần tìm. Còn nếu tồn tại ít nhất $1$ loại số dư không chứa bất kỳ số dư nào trong $37$ số dư trên, khi đó $37$ số dư của $37$ số nguyên dương ban đầu sẽ thuộc tối đa $6$ loại số dư còn lại, theo nguyên lý Dirichlet thì tồn tại một loại số dư chứa ít nhất $\left[\dfrac{37}{6}\right]+1=7$ số dư trong số $37$ số dư kể trên, khi đó tổng cần tìm chính là tổng của $7$ số dư ở trên. Hoàn tất chứng minh.