Giải thích các bước giải:

Câu 5:

Đổi $30$ phút $=\dfrac12$ giờ

Gọi vận tốc lúc đi của người đó là $x$ km/h, $(x>10)$

$\to$Vận tốc lúc về là $x-10$ km/h

Theo bài ta có:

$\dfrac{100}{x-10}-\dfrac{100}x=\dfrac12$

$\to 100x-100\left(x-10\right)=\dfrac{1}{2}x\left(x-10\right)$

$\to 200x-200\left(x-10\right)=x\left(x-10\right)$

$\to 2000=x^2-10x$

$\to x^2-10x-2000=0$

$\to (x-50)(x+40)=0$

$\to x=50$ vì $x>10$

Câu 6:

a.Ta có: $\widehat{BEH}=\widehat{BDH}=90^o$

$\to BEHD$ nội tiếp đường tròn đường kính $HB$

Vì $CE\perp AB, AD\perp BC, AD\cap CE=H$

$\to H$ là trực tâm $\Delta ABC$

$\to BH\perp  AC$

b.Ta có:

$\widehat{BFC}=\widehat{BEC}=90^o$

$\to BCFE$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC$

$\to \widehat{BEN}=\widehat{BEF}=\widehat{BFC}=90^o-\widehat{BCF}=90^o-\widehat{DCA}=\widehat{CAD}=\widehat{CAK}=\widehat{CIK}=\widehat{CIE}$

$\to \Delta CNE\sim\Delta CEI(g.g)$

$\to \dfrac{CN}{CE}=\dfrac{CE}{CI}$

$\to CN.CI=CE^2$

c.Ta có: $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^o$

$\to AEHF$ nội tiếp đường tròn đường kính $AH$

$\to (AEF)$ là $(AEHF)$

Do $P$ là tâm $(AEF)$

$\to P$ là trung điểm $AH$
Kẻ $EG\perp AC$

$\to CE^2=CG.CA$

$\to CG.CA=CN.CI$

$\to \dfrac{CG}{CI}=\dfrac{CN}{CA}$

$\to \Delta CNG\sim\Delta CAI(c.g.c)$

$\to \widehat{CGN}=\widehat{AIC}$

$\to \widehat{NCF}=\widehat{ABC}=\widehat{GFE}=\widehat{NFG}$

$\to \Delta NFG$ cân tại $N$

$\to NG=NF$

Mà $\widehat{NGE}=90^o-\widehat{NGF}=90^o-\widehat{GFN}=\widehat{GEN}$

$\to \Delta NGE$ cân tại $N$

$\to NG=NE$

$\to NE=NF$

$\to N$ là trung điểm $EF$

Ta có: $BCEF$ nội tiếp đường tròn đường kính $BC, M$ là trung điểm $BC$

$\to M$ là tâm $(BCEF)$

$\to (P)\cap (M)=EF$

$\to PM$ là trung trực $EF$

Mà $N$ là trung điểm $EF$

$\to N\in MP$

$\to M, N, P$ thẳng hàng