Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{BEH}=\widehat{BDH}=90^o$

$\to BDHE$ nội tiếp đường tròn đường kính $HB$

b.Xét $\Delta AEC,\Delta BHE$ có:

$\widehat{AEC}=\widehat{BEH}(=90^o)$

$\widehat{ACE}=90^o-\widehat{BAC}=\widehat{EBH}$

$\to \Delta AEC\sim\Delta HEB(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{HE}=\dfrac{CE}{BE}$

$\to AE.BE=CE.EH$

Kẻ đường kính $AK$ của $(O)$

$\to \widehat{ABK}=\widehat{ACK}=90^o$

$\to AB\perp BK, AC\perp CK$

$\to KB//CH, KC//BH$

$\to BHCK$ là hình bình hành

$\to BC\cap HK$ tại trung điểm mỗi đường

Do $M$ là trung điểm $BC$

$\to M$ là trung điểm $HK$

$\to OM$ là đường trung bình $\Delta AHK$

$\to HA=2OM$

c.Từ b $\to H, M, K$ thẳng hàng

Mà $I, H, M$ thẳng hàng

$\to I, H, M, K$ thẳng hàng

$\to \widehat{AIH}=\widehat{AIK}=90^o$

Ta có: $\Delta AEH\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{AD}=\dfrac{AH}{AB}$

$\to AE.AB=AH.AD$

Vì $BENM$ nội tiếp $(BME)$

$\to \widehat{ANE}=\widehat{EBM}=\widehat{ABM}$

$\to \Delta AEN\sim\Delta AMB(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{AM}=\dfrac{AN}{AB}$

$\to AN.AM=AE.AB$

$\to AN.AM=AH.AD$

$\to \dfrac{AN}{AD}=\dfrac{AH}{AM}$

$\to \Delta ANH\sim\Delta ADM(g.g)$

$\to \widehat{ANH}=\widehat{ADM}=90^o$

$\to \Delta MNH\sim\Delta MIA(g.g)$

$\to \dfrac{MN}{MI}=\dfrac{MH}{MA}$

$\to MH.MI=MN.MA$

Ta có:

$\widehat{AIH}=\widehat{HDM}(=90^o)$

$\widehat{AHI}=\widehat{DHM}$

$\to \Delta AHI\sim\Delta MHD(g.g)$

$\to \dfrac{AI}{AH}=\dfrac{MD}{MH}$

$\to \dfrac{AI}{MD}=\dfrac{AH}{MH}$

$\to \dfrac{AI}{1}.\dfrac{1}{MD}=\dfrac{AH}{MH}$

$\to \dfrac{AI}{MI}.\dfrac{AD}{MD}=\dfrac{AH.AD}{MH.MI}$

$\to \dfrac{AI}{MI}.\dfrac{AD}{MD}=\dfrac{AN.AM}{MN.MA}$ 

$\to \dfrac{AI}{MI}.\dfrac{AD}{MD}=\dfrac{AN}{MN}$