`a)`

`OB=OC;TB=TC=>OTin` đường trung trực của `BC`

`=>OT bot BC`

Lại có `hat(BEC)=hat(CFB)=90^@`

`=>BFEC` nội tiếp đường tròn đường kính `BC`

`b)`

`BT` là tiếp tuyến

`=>hat(TBC)=hat(BAC)`

 mà `hat(AEB)=hat(BHT)=90^@`

`=>DeltaAEB`$\backsim$`DeltaBHT(g.g)`

`=>(AB)/(BT)=(AE)/(BH)=(AE)/(EH)(1)`

 `hat(ABE)=hat(BTH)`

`=>hat(TBH)+hat(ABE)=hat(TBH)+hat(BTH)=90^@=hat(AEB)`

`=>hat(ABT)=hat(AEH)(2)`

`(1)(2)=>DeltaABT`$\backsim$`DeltaAEH(c.g.c)`

`c)`

Từ `b)=>hat(BAT)=hat(EAH);hat(BTA)=hat(EHA)`

lại có `hat(AEI)=hat(ABP);hat(HEI)=hat(TBP)`

`=>DeltaAEI`$\backsim$`DeltaABP;DeltaHEI`$\backsim$`DeltaTBP(g.g)`

`=>(AI)/(AP)=(EI)/(BP);(HI)/(PT)=(EI)/(BP)`

`=>(AI)/(HI)=(AP)/(PT)`

`=>`$PI//TH$

mà `THbotBC=>PIbotBC`