Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 Nhân `4(a+b+c)` vào `2` vế bất đẳng thức ta có`:`

`VT = 3 ( [4a(a+b+c)]/(4a+4b+c) + [4b(a+b+c)]/(4b+4c+a)+[4c(a+b+c)]/(4c+4a+b) )`

`<=> VT = 3 ( (3ac)/(4a+4b+c)+a + (3ba)/(4b+4c+a)+b+(3cb)/(4c+4a+b) )`

`<=> VT = 9( (ac)/(4a+4b+c) + (ba)/(4b+4c+a) + (cb)/(4c+4a+b) ) + 3(a+b+c)`

`VP = 4(a+b+c)`

`=>` Ta cần chứng minh `:` `(ac)/(4a+4b+c) + (ba)/(4b+4c+a) + (cb)/(4c+4a+b) <= (a+b+c)/9`

Ta có`:` `(ac)/(4a+4b+c) = ac . 1/[(2a+b)+(2a+b)+(2b+c)]`

Áp dụng bất đẳng thức `1/(a+b+c) <= 1/9(1/a + 1/b+1/c)` ta có`:`

`1/[(2a+b)+(2a+b)+(2b+c)] <= 1/9(2/(2a+b) + 1/(2b+c) )`

`=> (ac)/(4a+4b+c) <= 1/9( (2ac)/(2a+b) + (ac)/(2b+c))`

Tương tự`:` `(ba)/(4b+4c+a) <= 1/9( (2ba)/(2b+c) + (ba)/(2c+a))`

                  `(cb)/(4c+4a+b) <= 1/9( (2cb)/(2c+a) + (cb)/(2a+b))`

`=> VT <= 1/9[(2ac)/(2a+b) + (ac)/(2b+c) + (2ba)/(2b+c) + (ba)/(2c+a)+(2cb)/(2c+a) + (cb)/(2a+b)]`

`<=> VT <=1/9[((2ac)/(2a+b)+(cb)/(2a+b))+((ac)/(2b+c)+(2ba)/(2b+c))+((ba)/(2c+a)+ (2cb)/(2c+a))]`

`<=> VT <= (a+b+c)/9 = VP`

`=> đpcm`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a=b=c`