Đáp án:

Giải thích các bước giải:

 `F = (\sqrt{a^2-1})/a + (\sqrt{b^2-1})/b + 1/(a^2+b^2)`

`<=> F = \sqrt{1-1/(a^2)} + \sqrt{1-1/(b^2)} + 1/(a^2+b^2)`

Ta có`:` `\sqrt{1-1/(a^2)} + \sqrt{1-1/(b^2)} <= \sqrt{2(2-1/(a^2)-1/(b^2))}`

`= \sqrt{4 - 2(1/(a^2)+1/(b^2))} <= \sqrt{4 - (1/a+1/b)^2}`

Có`:` `a+b+4=2ab`

`<=> 1/a+1/b+4/(ab)=2`

Mà `4/(ab) = 4(1/a . 1/b) <= 4 . [(1/a+1/b)^2]/4 = (1/a+1/b)^2`

Đặt `1/a + 1/b = x` `(x > 0)`

`=> x + x^2 >= 2`

`<=> x^2 + x - 2 >= 0`

`<=> (x-1)(x+2) >= 0`

`=> x - 1>= 0`

`=> x >= 1`

`=> \sqrt{1-1/(a^2)} + \sqrt{1-1/(b^2)} <= \sqrt{4 - 1^2} = \sqrt{3}`   `(1)`

Ta có`:` `a + b + 4 >= 2\sqrt{ab} + 4`

`=> 2ab >= 2\sqrt{ab} + 4`

`=> ab >= \sqrt{ab} + 2`

`=> ab - \sqrt{ab} - 2 >=0`

`<=> (\sqrt{ab} +1)(\sqrt{ab}-2)>=0`

`=>  \sqrt{ab} >= 2`

`=> ab >= 4`

Mà `a^2 + b^2 >= 2ab >= 8`

`=> 1/(a^2 + b^2) <= 1/8`    `(2)`

Từ `(1)` và `(2)` `=> F <= \sqrt{3} + 1/8`

Dấu "`=`" xảy ra khi `a=b=2`