Giải thích các bước giải:

a.Ta có:

$3x^2-4x-1=0$ 

$\to \Delta'=(-2)^2-3\cdot (-1)=7>0$

$\to$Phương trình luôn có $2$ nghiệm phân biệt $x=\dfrac{2\pm\sqrt7}3$

b.Vì khoảng cách từ cửa đến mặt đất là $4$ m 

$\to (P)$ có đỉnh $(0,4)$

$\to (P): y=ax^2+4$

Do khoảng cách $2$ cửa là $4m$

$\to (P)$ đi qua $(-2, 0), (2, 0)$

$\to 0=a\cdot 2^2+4$

$\to a=-1$

$\to y=-x^2+4$

Gọi hai đỉnh dưới của khung thép là $A(-k, 0), B(k, 0), k>0$

$\to C(-k, -k^2+4), D(k, -k^2+4)$ là $4$ đỉnh của hình chữ nhật

$\to S=2k\cdot (-k^2+4)$

$\to S=-2k^3+8k$

$\to S=-2(k-\dfrac{2\sqrt3}3)^2(k+\dfrac4{\sqrt3})+\dfrac{32}{3\sqrt{3}}$

$\to S\le \dfrac{32}{3\sqrt{3}}$

Dấu = xảy ra khi $k=\dfrac{2\sqrt3}3$

$\to$Chiều dài khung là $\dfrac{4\sqrt3}3,$ chiều rộng là $-(\dfrac{2\sqrt3}3)^2+4=\dfrac83$