Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{OIC}=\widehat{OFC}=90^o$

$\to OIFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

b.Ta có: $\widehat{AEB}=\widehat{AHB}=90^o\to AEHB$ nội tiếp đường tròn đường kính $AB$

$\to \widehat{EHC}=\widehat{EAB}=\widehat{DAB}=\widehat{BCD}\to HE//CD$

c.Vì $I$ là trung điểm $BC\to IB=IC$

Kẻ $DG\perp BC$

$\to\widehat{CFD}=\widehat{CGD}=90^o\to CDFG$ nội tiếp

$\to \widehat{HGF}=\widehat{FDC}=\widehat{ADC}=\widehat{ABC}\to FG//AB$

Tương tự chứng minh $BD//HF, GE//AC$

$\to HE\perp GE, HF\perp GF$

$\to HEGF$ nội tiếp đường tròn đường kính $HG$

Ta có: $\Delta AHB\sim\Delta ACD(g.g)$

$\to\dfrac{HB}{DC}=\dfrac{AH}{AC}$

$\to HB=\dfrac{AH\cdot CD}{AC}$

Tương tự $\Delta CGD\sim\Delta AHC(g.g)$

$\to \dfrac{CG}{AH}=\dfrac{CD}{AC}\to CG=\dfrac{AH\cdot CD}{AC}=BH$

$\to HB=CG\to IH=IB-BH=IC-GC=IG\to I$ là trung điểm $HG$

$\to I$ là tâm $(HEGF)$

$\to I$ là tâm $(HEF)$