Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, một con chim bồ câu xuất phát từ O (0;0;0) di chuyển với vectơ vận tốc

v = (1;2;2). Cùng lúc đó, một con chim én cũng bắt đầu di chuyển từ A(0;0;5) với vectơ vận tốc v₂ =(0;3;4). Tồn tại một vùng không gian nguy hiểm, nơi mà ở đó thường xuyên xuất hiện những người săn bắt chim có dạng mặt cầu (x-2)² + (y-4)² + (z-4)² =16. Biết rằng mỗi đơn vị trên các trục tọa độ trong không

gian tương đương 1m và đơn vị đo thời gian tính bằng giây.

a) Tốc độ di chuyển của chim bồ câu là 3 m/s

b) Chim én có di chuyển vào vùng nguy hiểm trong quá trình bay

c) Thời gian mà chim bồ câu di chuyển trong vùng nguy hiểm nhỏ hơn 5 giây

d) Khoảng cách giữa hai đường thẳng quỹ đạo của hai con chim bằng 2/3 m.

Tìm đúng sai

`a)` $\fbox{ĐÚNG}$

Tốc độ di chuyển của bồ câu: `|vecv|=sqrt(1^2+2^2+2^2)=3 \ ("m/s")`

`b)` $\fbox{SAI}$

Đường thẳng quỹ đạo của chim én là: `(d): \ {(x=0),(y=3t),(z=5+4t):}`

Gọi `M(0;3t;5+4t)`

Thay tọa độ của `M` vào phương trình mặt cầu, ta có:

`(0-2)^2+(3t-4)^2+(5+4t-4)^2=16`

`=>` `25t^2-16t+5=0`

`=>` Vô nghiệm

`=>` Chim én không bay vào vùng nguy hiểm trong quá trình bay

`c)` $\fbox{ĐÚNG}$

Gọi `N` là tọa độ của bồ câu sau `t` giây

Như vậy, ta có: `vec(ON)=tvec(v) \ (t > 0)`

`=>` `vec(ON)=(t;2t;2t)`

`=>` `N(t;2t;2t)`

Thay tọa độ của `N` vào phương trình mặt cầu, ta được:

`(t-2)^2+(2t-4)^2+(2t-4)^2=16`

`=>` `[(t=2/3),(t=10/3):}`

`=>` Thời gian bồ câu di chuyển trong vùng nguy hiểm là: `10/3-2/3=8/3 ~~ 2,67 \ (s) < 5`

`d)` $\fbox{SAI}$

Quỹ đạo `d_1` của bồ câu đi qua `O(0;0;0)` và có một VTCP là `vecv=(1;2;2)`

Quỹ đạo `d` của chim én đi qua `A(0;0;5)` và có một VTCP là `vec(v_2)=(0;3;4)`

`=>` `d(d_1,d)=(|[vecv,vec(v2)]*vec(OA)|)/(|[vecv;vec(v_2)]|)`

Ta có: `|[vecv;vec(v_2)]|=(2;-4;3)` và `vec(OA)=(0;0;5)`

`=>` `{(|[vecv,vec(v_2)]*vec(OA)|=|2*0+(-4)*0+3*5|=15),(|[vecv;vec(v_2)]|=sqrt(2^2+4^2+3^2)=sqrt29):}`

`=>` `d(d_1,d)=(15)/sqrt29 ~~ 2,79 \ m`