Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) Gọi $E$ là trung điểm của $OM$

Xét $\Delta AOM$ vuông tại $A(AM \bot AO)$, có $E$ là trung điểm của cạnh huyền $OM$

$\Rightarrow EA = EO = EM = \dfrac{OM}{2}(1)$

Xét $\Delta BOM$ vuông tại $B (BM \bot BO)$, có $E$ là trung điểm của cạnh huyền $OM$

$\Rightarrow EB = EO = EM = \dfrac{OM}{2}(2)$

Từ $(1)$ và $(2) \Rightarrow EA = EB = EO = EM = \dfrac{OM}{2}$

$\Rightarrow$ Tứ giác $AMBO$ nội tiếp đường tròn tâm $\bigg(E; \dfrac{OM}{2}\bigg)$

b) Ta có: $MA$ và $MB$ lần lượt là hai tiếp tuyến cắt nhau tại $M$ của đường tròn $(O; R)$

$\Rightarrow MA = MB$

$\Rightarrow M$ thuộc đường trung trực của $AB$

Mà $O$ thuộc đường trung trực của $AB (OA = OB = R)$

$\Rightarrow OM$ là đường trung trực của $AB$

Mà $OM$ cắt $AB$ tại $I \Rightarrow AI \bot OM$

Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OIA$, ta có:

$\begin {cases} \widehat{OAM} = \widehat{OIA} (= 90^o) \\ \widehat{IOA}\text{ chung} \end {cases}$

$\Rightarrow \Delta OAM \backsim \Delta OIA(g - g)$

$\Rightarrow \dfrac{OA}{OI} = \dfrac{OM}{OA}$

$\Rightarrow OI \cdot OM = OA^2 = R^2$