Bài 5. (3 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có 3 đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại điểm H.

1) Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn.

2) Chứng minh AEF = ABC.

3) Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của ba đường thẳng AD, BE, CF với (O) tương ứng khác A, B, C.

Chứng minh H là tâm của đường tròn nội tiếp tam giác PQR.

`\color{#FF0000}{T}\color{#FF7F24}{i}\color{#FFFF00}{t}\color{#7FFF00}{u}\color{#00F5FF}{u}\color{#FF1493}{u}`
$a)$ Xét $\triangle$ $ABC$ có $BE$ là đường cao

`->` $\triangle$ `BEC` vuông tại `E`

`-> 3` điểm `B, E, C` thuộc đường tròn đường kính `BC`

Tương tự ta có `3` điểm `B, F, C` thuộc đường tròn đường kính `BC`

`-> 4` điểm `B, E, F, C` cùng thuộc một đường tròn

`-> BCEF` nội tiếp

$2)$ `BCEF` nội tiếp

`->` $\widehat{ABC}+\widehat{FEC}=180^o$

Mà $\widehat{AEF}+\widehat{FEC}=180^o$ (kề bù)

`->` $\widehat{ABC}=\widehat{AEF}$

$3)$ Có $\widehat{RPH}=\widehat{FCE}$ (cùng chắn $\mathop{RA}\limits^{\displaystyle\frown}$)

$\widehat{QPH}=\widehat{FBE}$ (cùng chắn $\mathop{QA}\limits^{\displaystyle\frown}$)

Mà $\widehat{FCE}=\widehat{FBE}$ (cùng chắn $\mathop{FE}\limits^{\displaystyle\frown}$)

`->` $\widehat{RPH}=\widehat{QPA}$

`-> PH` là tia phân giác $\widehat{RPQ}$

Tương tự ta có `QH` là tia phân giác $\widehat{RQP}$

`RH` là tia phân giác $\widehat{PRQ}$

`-> H` là giao `3` đường phân giác $\triangle$ $PQR$

`-> H` là tâm đường tròn nội tiếp $\triangle$ $PQR$