Đáp án `+` Giải thích các bước giải:

Bất đẳng thức cô si cho `3` số có dạng: `a + b + c >= 3\root{3}{abc}`

`C1:`

Đặt `x^3 = a , y^3 = b , z^3 = c` `(x,y,z >= 0)`

`->` Ta cần chứng minh `x^3 + y^3 + z^3 >= 3xyz`

Có:

`x^3 + y^3 + z^3 >= 3xyz`

`<=> (x^3 + 3x^2y + 3xy^2 + y^3) + z^3 - 3x^2y - 3xy^2 - 3xyz >= 0`

`<=> (x+y)^3 + z^3 - 3xy(x+y+z) >= 0`

`<=> (x+y+z)[(x+y)^2 - (x+y)z + z^2] - 3xy(x+y+z) >= 0`

`<=> (x+y+z)(x^2 + 2xy + y^2 - xz - yz + z^2 - 3xy) >= 0`

`<=> (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz) >= 0`

`<=> 1/2 . 2(x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - xz) >= 0`

`<=> 1/2(x+y+z)(2x^2 + 2y^2 + 2z^2 - 2xy - 2yz - 2xz) >= 0`

`<=> 1/2(x+y+z)[(x^2 - 2xy + y^2) + (y^2 - 2yz + z^2) + (x^2 - 2xz + z^2)] >= 0`

`<=> 1/2(x+y+z)[(x-y)^2 + (y-z)^2 + (x-z)^2] >= 0` (luôn đúng `AA x,y,z >= 0` )

`=> x^3 + y^3 + z^3 >=3xyz` hay `a + b + c >= 3\root{3}{abc}`

Dấu bằng xảy ra khi `x = zy = z` hay `a = b = c`

`C2:`

Ta cần chứng minh bất đẳng thức cô si dành cho `2` số trước, sau đó mới chúng minh bất đẳng thức cô si dành cho `3` số.

`-` Chứng minh bất đẳng thức cô si dành cho `2` số: `a + b >= 2sqrt{ab}`

Với `a,b >= 0`, có:

`(sqrt{a} - sqrt{b})^2 >= 0 <=> a - 2sqrt{ab} + b >= 0 <=> a + b >= 2sqrt{ab}`

Dấu bằng xảy ra khi `a = b`

`-` Chứng minh bất đẳng thức cô si dành cho `3` số: `a + b + c >=  3\root{3}{abc}`

Với `a,b,c >= 0`, có:

Có: `(a + b) + (c + \root{3}{abc})  >= 2sqrt{ab} + 2sqrt{c\root{3}{abc}}`

                                                    `= 2(sqrt{ab} + sqrt{croot{3}{abc}})`

                                                    `>= 2 . 2 . sqrt{sqrt{abcroot{3}{abc}`

                                                    `= 4root{4}{abc . root{3}{abc}} = 4root{4}{(root{3}{abc})^4} = 4root{3}{abc}`

`<=> a + b + c >= 3root{3}{abc}`

Dấu bằng xảy ra khi `a = b = c`