*Bạn có thể chứng minh lại BĐT Nesbitt bằng sử dụng các BĐT thông dụng mà :D.

C1:

Bất đẳng thức cần chứng minh là bất đẳng thức đồng bậc nên ta có thể chuẩn hoá `a+b+c=3`.

Khi đó bất đẳng thức tương đương:

`a/(b+c)^2 + b/(c+a)^2 + c/(a+b)^2 >=3/4`.

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM ta có:

`a/(b+c)^2 + a/4 >=2\sqrt(a/(b+c)^2 . a/4) = a/(b+c)`.

Chứng minh tương tự ta có: `b/(c+a)^2 + b/4 >=b/(c+a)` ; `c/(a+b)^2 + c/4 >= c/(a+b)`.

`=>a/(b+c)^2 + b/(c+a)^2 + c/(a+b)^2 >=a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) -(a+b+c)/4`

`=>a/(b+c)^2 + b/(c+a)^2 + c/(a+b)^2 >=a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) -3/4`

Ta cần chứng minh: `a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >=3/2` (đúng theo BĐT Nesbitt)

C2: Bất đẳng thức đã cho tương đương:

`(a(a+b+c))/(b+c)^2 + (b(a+b+c))/(c+a)^2 + (c(a+b+c))/(a+b)^2 >=9/4`.

`<=>(a/(b+c))^2 + (b/(c+a))^2 + (c/(a+b))^2 + a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >=9/4`.

Áp dụng BĐT `x^2+y^2+z^2 >=(x+y+z)^2 /3`, ta có:

`(a/(b+c))^2 + (b/(c+a))^2 + (c/(a+b))^2 + a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >=(a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b))^2 /3 +  a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b)`.

Mặt khác `a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >=3/2` (BĐT Nesbitt) nên:

`(a/(b+c))^2 + (b/(c+a))^2 + (c/(a+b))^2 + a/(b+c) + b/(c+a) + c/(a+b) >= (3/2)^2 /3 + 3/2 =9/4`. Suy ra đpcm.