Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O). Kẻ đường cao 4D của tam giác ABC, AK là đường kính của đường tròn (O). M và N lần lượt là trung điểm của BC và AC. Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của B và C trên AK.

a) Chứng minh bốn điểm A, D, F, C cùng thuộc một đường tròn.

b) Chứng minh góc BAD bằng góc CAK

c) Chứng minh MV vuông góc DF và M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF

Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $\widehat{AEB}=\widehat{ADB}=90^o$

$\to A, D, F, C\in$ đường tròn đường kính $AB$

b.Vì $AK$ là đường kính của $(O)$

$\to \widehat{ACK}=\widehat{ABK}=90^o$

$\to \widehat{ACK}=\widehat{ADB}$

Mà $\widehat{AKC}=\widehat{ABC}=\widehat{ABD}$

$\to \Delta ACK\sim\Delta ADB(g.g)$

$\to \widehat{CAK}=\widehat{BAD}$

c.Ta có: $\widehat{ADC}=\widehat{AFC}=90^o$

$\to ADFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AC$

$\to \widehat{AFD}=\widehat{ACD}=\widehat{ACB}=\widehat{AKB}$

$\to DF//BK$

Vì $M, N$ là trung điểm $BC, CA$

$\to MN$ là đường trung bình $\Delta ABC$

$\to MN//AB$

Do $\widehat{ABK}=90^o\to AB\perp BK$

$\to AB\perp DF$

$\to MN\perp DF$

Vì $M$ là trung điểm $BC\to OM\perp BC$

$\to \widehat{OMC}=\widehat{OFC}=90^o\to OMFC$ nội tiếp đường tròn đường kính $OC$

$\to \widehat{FMC}=\widehat{FOC}=\widehat{KOC}=2\widehat{KAC}=2\widehat{BKC}=2\widehat{FDM}$

$\to \widehat{FDM}=\widehat{FMC}-\widehat{FDM}=\widehat{MFD}$

$\to \Delta MDF$ cân tại $M$

$\to MD=MF$

Ta có: $\widehat{OEB}=\widehat{OMB}=90^o$

$\to OEBM$ nội tiếp đường tròn đường kính $OB$

$\to \widehat{EMD}=\widehat{EMB}=\widehat{EOB}=\widehat{AOB}= 180^o-2\widehat{OAB}=180^o-2\widehat{EAB}=2(90^o-\widehat{EAB})=2\widehat{ABE}=2\widehat{ADE}=2(90^o-\widehat{MDE})=180^o-2\widehat{MDE}$

$\to 180^o-\widehat{MDE}-\widehat{MED}=180^o-2\widehat{MDE}$

$\to \widehat{MDE}=\widehat{MED}$

$\to \Delta MDE$ cân tại $M$

$\to MD=ME$

$\to MD=ME=MF$

$\to M$ là tâm $(DEF)$