Giải thích các bước giải:

a.Ta có $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp MB, AC\perp CB$
Mà $MH\perp AB, EI\perp AB$

$\to \widehat{AHK}=\widehat{KCB}=90^o,\widehat{AME}=\widehat{EIB}=90^o$

$\to BHKC, AMEI$ nội tiếp đường tròn đường kính $BK, AE$

$\to $Tâm $(BHKC)$ là trung điểm $KB$

b..Ta có $AB=2R=10$

Vì $EI\perp AB\to \widehat{AIE}=\widehat{ACB}(=90^o)$

$\to \Delta AEI\sim\Delta ABC(g.g)$

$\to \dfrac{AE}{AB}=\dfrac{AI}{AC}\to AE.AC=AB.AI$

Chứng minh tương tự $\to BE.BM=BI.BA$

$\to AE.AC+BE.BM=AB.AI+BI.AB=AB^2=(2\cdot4)=64$

c.Ta có: 

$\widehat{MIC}=\widehat{MIE}+\widehat{EIC}=\widehat{MAE}+\widehat{EBC}=\dfrac12\widehat{MOC}+\dfrac12\widehat{MOC}=\widehat{MOC}$

$\to MIOC$ nội tiếp

$\to $Tâm $(IMC)$ là tâm $(MIOC)\in$ trung trực $OC$ cố định