Đáp án+Giải thích các bước giải:

`1`) Cho `a` = `0`, `b` = `-1`, `c` = `1` thì `a` + `b` + `c` = `0` và $a^{17}$ + $b^{17}$ + $c^{17}$ = `0`

`2`) Giả sử tồn tại các số nguyên `a`, `b`, `c` không đồng thời bằng `0`, thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đặt `x` = `a³` - `b³`, `y` = `b³` - `c³`, ta có:

$\frac{a^6 + b^6 + c^6 - a^3b^3 - b^3c^3 - c^3a^3}{2}$ 

`=` $\frac{(a^3 - c^3 )^2 - (a^3 - b^3 )(b^3 - c^3)}{2}$ 

`=` $\frac{(x + y)^2 - xy}{2}$ = $\frac{x^2 + xy + y^2}{2}$ 

Do đó, từ giả thiết suy ra `x²`  + `x``y` + `y²` = `2``z²` với `z` là số tự nhiên 

Nếu `x` = `y` = `0` thì `a` = `b` = `c`, mà `a` + `b` + `c` = `0` nên `a` = `b` = `c` = `0`, mâu thuẫn. Do đó, trong hai số `x`, `y` có ít nhất `1` số khác không. Từ đây suy ra tồn tại số nguyên `d` sao cho `d` = ( `x`, `y`, `z` ). Đặt `x` = `d``m`, `y` = `d``n`, `z` = `d``p` với `m`, `n`, `p` nguyên và ( `m`, `n`, `p` ) = `1`. Khi đó , ta có `m²` + `m``n` + `n²` = `2``p²`, suy ra `m²` + `m``n` +`n²` chẵn. 

Nếu trong `2` số `m`, `n` có ít nhất `1` số lẻ thì `m²` + `m``n` + `n²` lẻ mâu thuẫn. Vì thế `m`, `n` đều là các số chẵn, suy ra `m²` + `m``n` + `n²` chia hết cho `4`, do đó `p` là số chẵn. Như vậy cả `3` số `m`, `n`, `p` đều chẵn. Mâu thuẫn vì ( `m`, `n`, `p` ) = `1`

 Vậy không tồn tại số nguyên dương `a`, `b`, `c`